85162 strona 1 (2)

pockuujnu;

CAŁKI NIEOZNACZONE

JlfW nb <?(*)] dx = / f(x) dx ± jg(x) dx,    f A f(pc) dx = A f f(x) dx,

./    ⁼ *ⁿ \f(^x)\ + /u(ar)u'(ar) = u(*)i/(s) - Ju'{x)v(x) dx

J(x)±g(x)\' - f'(x)-±g'(x),    [/(*)• »(*)!' = /'W *s(*) + /W ‘^<

7(«0

/■^/(a;Vg(a;)-/tx)-_g^/(gQ

'y*(*)

[/($(*))]' --=/'(»(*)) V(*)

/e* </x = e* + C, /a*cte= ^eP + C, /»e^x ete = (x - l)e* + C,

^dla -f-¹

^J    \ ln \x\ 4* (7 dla r = —1,

/ 1 dx = X 4- (7, f xdx = ^x² 4- C\ / *² dx = ±x³ + (7, f ^ dx = ln \x\ + C

(u^x)' = a^x Ina,

,rV - i

(W = i>

r—1

(x^r) — r.r^r ,

(v^)' = 5^S,

(sin*)' - cos a?, (cos x)' = — sin x,

(tg.    cos² cc >

fctg X)' =

(arcsin x)' = 77^7-? (arc cos *)' - 7= ¹

V 1 — u;'

(arclg *)' = 177? > (arc ctg x)^f = 777

/ Sin x dx ~ — cos X + C,    / cos x dx = sin x + C,    TYP    3.    Równanie o zmiennych rozdzielonych: y[ -

r ,* 2 j _ i i-o \ n r 2    , i i • r    Jest to łyp ogólniejszy od TVpow 11 2. Metoda: iowriame zapisujemy

} sin xdx ₂x _Ą sm 2t i- (7,    / cos arite -    4- ₃ sin 2*4- <7,    _{w p0stac}i ^ — /?,(*)(/(?/), a następnie (przy założeniu, ze g(y) i=

/sin³®da: = A cos**-cos* + C, fc^xdx = -i sin³® + sin * + C\ _Q) Rozdzielamy zmienne": jfc = A(*) d®. Teraz obliczamy =

/ tg x dx = - ln | cos*| 4- C\ f ctg x dx = ln | sin x\ 4- C,    I fo(x)dx.

f tg‘²xdx = tg x — x + C,    f ctg²xdx == —ctg x — x 4- CK    TYP    4.    Równanie postaci y^r — g(ax 4- by 4- c), gdzie g    to pewna

f ¹ dr = ln t <r— 4- C C ¹    - u-, i *<■* _i_ il\ n    funkcja jednej zmiennej, zaś a, b, c, to liczby. Metoda: podstawiamy

/ sin x    tg ₂ + o, j _{cos x} dx - ln lg( 2 4- 4; 4- c,    _u_ _ax + by _j_ _c ^ j_eyt pewną funkcją zmiennej ag gdyż ?/ jest funkcją

f a2\_xł — i ^arctg J -I Cs f -_a3 l _xv dx = ^ ln I 1 - c,    zmiennej x). Otrzymujemy u = a 4- by\ czyli v' = a 4- • g{u). Jest to

_r dx , , . /-o—. , ^ _r y-s—„    ——,    równanie Typu 2 (a także Typu 3 o zmiennych rozdzielonych), które

I y/_x2j__q ⁿ +    /V^x -\-qdx — 2    -j in \x-ry/x h<?|4-< _unijomy już rozwiązać,

_{r dx}    .    _    _ _r ,-, _f .. .--    „    .    TYP 5. Równanie jednorodne: y* = g(*). Metoda: podstawiamy

I    - ^axcslIi s/n + °> I vq-x dx -₂ yjq-x 4- § arcsin 7^ 4- <7, _u = ^ _{czyli y = 11I>} Stąd = t/a4-u oraz <y(w) = ?//.T4-a. To równanie

f jd* =    ₊ CK J *^dx = -y/q^xi4-C    ⁰ imiennych rozdzielonych (TVp 3).

^^ ^ = I    + er. /,    ₊ c,    ¹^^fg(xh^Z⁾+ °C) ^{SOtOWy WZńf} ”^£

/’ łu xdx = X ln .r-.T4-C_; f hi²x dx = x ln²s - 2x ln a; + 2x 4- C,    tvp *    .

i. YJr 7. Równanie BernoulliWo- i/ + .4A₍    / v _n , .

firlmr^ = \nx -    4- C, J'x²)nxdx = ln* - i*³ 4- C, jost liczbą rzeczywistą różną od O oraz od 1 (dla /^órST =

f arcsin* dx = x arogin* 4- Vl-x²+C\ f arc a*xdx = * arc cos* - v^/l-^²4-C\^_>r^^^    liniowe). Metoda: należy podzielić równanie

farctg*dx = *aictg*-|ln(l4-*²)4-C, /arcctg*dx = xaicctg*4-|ln(l4-*²)4-Cliriiowe.