246 (10)

a następnie

(5.1.49)

Współczynniki przy niewiadomych są takie same jak w równaniu (5.1.48), co oznacza, że macierz A w obu tych wariantach rozwiązania jest taka sama (zmianie ulega jedynie wektor wyrazów wolnych). Przykład sieci niwelacyjnej oraz odpowiadające jej macierze A i L przedstawiono na rys. 5.1.8.

Sieci geodezyjne w układzie (X, Y)

W poprzednim przykładzie sieci geodezyjnej funkcje określające związki między wielkościami mierzonymi a przyjętymi parametrami były liniowe. Pozwalało to na „natychmiastowe” sformułowanie liniowych równań poprawek, a stąd na ustalenie koniecznych w procesie wyrównania macierzy A i L.

W praktyce powszechne zastosowanie znajdują sieci geodezyjne definiowane w dwuwymiarowym układzie, np. w układzie (X, Y). Mierzone są tutaj najczęściej odległości i kąty, a w zasadzie kierunki, na podstawie których te kąty są obliczane (rys. 5.1.9).

Jako parametry w tego rodzaju sieciach (o czym już była mowa) przyjmuje się na ogół współrzędne nowych punktów. Równania obserwacyjne oraz wynikające z nich równania poprawek są wówczas nieliniowe. W części teoretycznej mówiliśmy również, że w takich przypadkach równania te należy

n

5

O punkty wyznaczano A punkty o znanych współrzędnych

Rys. 5.1.9. Przykłady sieci geodezyjnych

sprowadzić do postaci liniowej przez ich rozwinięcia w ograniczone do pierwszych wyrazów szeregi Taylora, tzn. jeśli dla i-tej wielkości mierzonej o równaniu obserwacyjnymjc₍--F_f(X) funkcja F₍(X)jest nieliniowa, to

r^-(X) Vj = F_j(\)~x_i    v_f ⁼

d_x + Fi(X°)-xf

x=x‘

lub w formie rozwiniętej

_^(X)

^Vf ax,

d_V. +

^(X)j

<)X-

d v + - • • +

^aA(^X)

' BX_r '

X X'

(5.1.50)

Stosując podstawienia

_ ^(X)|

3 - — - —

dX |_x^_xo

r^{X)    a/-)(X)    (X)

;M'i ' c)X₂ ’    ‘ r)X_r

x^x^l

liniowe równanie poprawki do /-tej obserwacji możemy także zapisać w postaci

^vi ^=a/*d,_V +//    (5.1.51)

(przypomnijmy: a., - /-ty wiersz macierzy A). Wynika stąd, że dla całej sieci o n mierzonych elementach uzyskuje się

^vi =«<.^d,Y +/j

i ~ 1.2.....«

<=> V - Ad _x -f L

Poniżej przedstawimy liniowe postaci równań poprawek dla typowych obserwacji w sieciach geodezyjnych realizowanych w układzie (X, Y).

Równanie poprawki do wyniku pomiaru odległości

Niech pomiarowi podlega odległość d- między punktami Z_jt Z, (rys. 5.1.10).

247