102809

M .Twardowska Szeregi liczbowe 2

Warunek konieczny zbieżności szeregu: V" n„ :    lim a_n = 0

'    n—oo

n=ł

oo j    j

Jest to warunek konieczny ale nie dostateczny, bo np. szereg ) — jest rozbieżny, a lim — = 0

' n    n—oc n

n= 1

Kryterium całkowe

Niech / : R —» R będzie taką funkcją, że f(n) = a„. dla n € N Wtedy

+oo

; zbieżna

n=l

oo

^ rt_n jest zbieżny    I f{x)dx jest zbieżu

"=>    i

Przykład:    ^ — jest zbieżny <=> o > 1

n=l

•    Gdy a < 0 nie jest spełniony warunek konieczny, a więc szereg jest rozbieżny.

³⁶ i

•    Gdy a=l- szereg ^ — jest rozbieżny.

n«l

Gdy a > O i q ^ 1. skorzystamy z kryterium całkowego: T    T

/i    f i    r    r*i"°u⁷    \T'~°    1

—(Lr = lim / —dx = lim / x ^adx = lim -- = lim -----

x°    T—ooJ x° T—ocJ    r—oo l-oJ|.    r—oo l—o l-o

iii

Granica ta jest skończona, gdy lim T^1-0 < oo, czyli gdy 1 — o < 0. czyli gdy o > 1

T—oo

Kryterium d’Alemberta

Jeżeli wyrazy szeregu V a_n są dodatnie oraz Istnieje granica lim ”¹¹ = o. to szereg ten jest '    n—oo a_n

zbieżny, gdy g < 1, a rozbieżny, gdy g > 1.

^ fi

Przykład 1:    ZlKidamy zbieżność szeregu ^    ^ i)j

n⁼ 1

Um 2=±1= lim iSni = lim ⁽" +    ^1)! = lim <»-+»0»+U

n—oo a„ n—oo    ^n_*⁰⁰    n^r,(2n + 3)!    n—00 n°(2n 4- 2)(2n + 3)

(n + l)ⁿ (n+1)    {n + l\ⁿ (n + 1)

= lim

.. /n + i\"__(n_

-3)    n—k \ n )    (2n + 2]

= e • O = O < 1

n—»    n" (2n + 2)(2n + 3) ń^oc \ n J (2n + 2)(2n -f 3)

Granica ilorazu dwóch sąsiednich wyrazów szeregu jest mniejsza od 1. a zatem szereg jest zbieżny.

^ 5ⁿ («!)²

Przykład 2:    Zbadamy zbieżność szeregu >    _>t, ——

^J    '    ⁶    ^(2n)!(n + 3)

5(n + l)²

^fln+i ,.    5^n+,[(n + l)!]²    (2n)!(n + 3)    ,.

hm - = lun -¹— -— -—— - hm

"⁺⁴ =5 >1

n-oo a_n    n—oc (2n + 2)!(n + 4)    5" (n!)²    n—oo (2n + l)(2n + 2) n+3    4

Granica ilorazu dwóch sąsiednich wyrazów szeregu jest większa od 1. a zatem szereg jest rozbieżny.

Przykład 3:    ZlKidamy zbieżność szeregu

n + 2 n² + 3

Z

n«l

n + 1

n² + 3

lim = lim -    —^ o

n—oo a_n    n—oo (n + \)^z + 3 n+1

Należy tę zbieżność zlmdać za pomocą innego kryterium.

= 1 A więc to kryterium nie rozstrzyga o zbieżności.