30831

SZEREG LICZBOWY 1

I. Zapisać szereg w postaci skróconej. Czy spełniony jest warunek konieczny zbieżności szeregu ^rt

(a) ! + l + i + 2+..

2    4    6    8

(b) I+1 + 1 + 1+..

13    5    7

(c) sin| + sin^ + sin^ + sin^-

2. Określić n - ty wyraz szeregu. Czy szereg jest zbieżny? Określić sumę szeregu.

(a)

(O z

23"-7 2²" 6"

3.    Obliczyć wartość liczbową ułamka okresowego.

(a) 0,(7)    (b) 0,(66)    (c) 6,(303)

4.    Korzystając z kryterium d'Alemberta zbadać zbieżność szeregu.

(a) ZV <^c> Z^

_(i)2 ₊ 4₊_Ł ₊ JL₊..

' ’ 3    9    27    81

Z(2n-1)!

(c)    Yrf

(d) Z^¹

(0 I(4)"n!

n=l

(g)Z^

0>¹⁺£⁺&⁺&⁺£⁺-^(k)i ⁺ ^⁺^F ⁺ ^⁺'

(h) Z-^ ■‘-(10000“

(l)2i ₊ 41 ₊ M ₊ £l₊.. ^w 3    9    27 81

5.    Korzystając z kryterium Cauchy’ego zbadać zbieżność szeregu.

~ ,211^-2 n=l ""    i»=l “'    n=l

6.    Wykazać, korzystając z warunku koniecznego zbieżności szeregu, że szereg jest rozbieżny.

₂2.

Ml*¹-*)*

Odpowiedzi.

Kaj^.w    <^b) S^y-tak    (c) £ sin 4, tak

_ i    nl    n-l

(C) Z17"    ^(d)

—'    n=l

ności szeregu, że szereg jest rc (c) Z^r    <^d) Zcos6i2r) (e) Z^h4nMn

n 1

2(a) a_n = 3(4)“, S = 4, zbieżny

(c)    a„=2(i)".b„=7(§)ⁿ,S₁=2,S₂

(d)    a„ = £(£)", S = ^ zbieżny

3(a) |    (b) f    (<

4. szeregi zbieżne:    (a) q = 4

= 1

(b) a„ = 12(|)“, S = oo, rozbieżny = 14, S = S, -S₂ = -12, zbieżny

(0 E£. q = i

n-r

szeregi rozbieżne:    (c), h) q = ao

S(a) zbieżny, q = 4    (b) zbieżny, q = 4

333

(b) q = 0

(k)

(d) q = |

(e) q = | ’

i

(0 q

(c) zbieżny, q = 44

(g) q = !

0) E“S^tl.q = ł

n-l ³

(i) Ż

n-0

(d) rozbieżny, q = f

2“(2n-l)

q=ł

1