matma5

Szeregi liczbowe

Warunek konieczny zbieżności szeregów ^a_n : ciąg (a_n) musi być zbieżny do zera-jeżeli jest zbieżny do

n=1

zera, to jeszcze nic z tego nie wynika, jeżeli nie jest, to oznacza to, że szereg nie jest zbieżny

co    oo    co    oo

Kryterium porównawcze - załóżmy, że a_n < ^b_n wtedy, jeżeli jest zbieżny, to ^a_n też, jeżeli

n=\    n=]    n-1    n=1

oo    oo

^a_n jest rozbieżny, to ^b_n też (dla skończonej liczby początkowych wyrazów nierówność a_n < b_n nie musi

n-1    n=1

oo

być spełniona). W kryteriach porównawczych stosujemy szeregi geometryczne (^T_jaqⁿ~^l) i Dirichleta

W=1

(V — ; jego szczególny przypadek, gdy k = 1 nazywamy szeregiem harmonicznym (nazwa bierze się stąd,

«=i ^

że każdy wyraz tego szeregu, oprócz pierwszego, jest średnią harmoniczną sąsiednich)); geometryczne są zbieżne dla \q\ < 1, zaś Dirichleta, gdy k > 1, w pozostałych przypadkach oba są rozbieżne

oo    ___

Kryterium Cauchy’ego - jest zbieżny jeżeli    , rozbieżny jeżeli    jeżeli

n—>co ^v    n->oo ^v

n-1

lim = 1 to trzeba zastosować inne kryterium. Augustin Louis Cauchy 1789-1857 Francja

Kryterium (1’Alamberta - jest zbieżny jeżeli lim—¹— < 1, rozbieżny jeżeli lim—^ > 1 Jeżeli

^H^° a„    »-*» a„

lim

a

n+1

1 to trzeba zastosować inne kryterium (kryterium Cauchy’ego jest mocniejsze od d’Alamberta czyli

może się zdarzyć, że d’Alamberta nie daje rozstrzygnięcia a Cauchy’ego tak, odwrotnie być nie może). Jean le Rond d’Alambert 1717-1783 Francja

⁰⁰    oo ( i y*+i

n

Szereg naprzemienny - postaci    ¹ b_n (w szczególności    -—-— nazywamy szeregiem

M=1

«=1

w

anharmonicznym) - stosujemy kryterium Leibniza: ]T(-1 )^n+lb„ jest zbieżny, jeżeli ciąg (b_n) jest

«=i

monotonicznie zbieżny do zera (wyznaczamy granicę ciągu (ń„) i badamy jego monotoniczność).