2808184643

Biotechnologia I sem. M .Twardowska Całki oznaczone 1

Całki oznaczone.

Biotechnologia I sem. M .Twardowska Całki oznaczone 1

1.    Policzyć całki:

1/2

^a)hrb¹'*'

o

2.    Obliczyć pole obszaru ograniczonego: a) krzywą y² = x² - z¹

o

b) cykloidą

f x{t) = r(t — sin t) \ y(t) = r(l — cost)

<)/

-2

a:² smerfa:

i 6 (0,2vr)

Równanie krzywej	y = f(x), a<®0	x — x(t), y = y(t), t£{a,P)
Pole figury płaskiej ograniczonej krzywą i odpowiednimi odcinkami	b S = J f(x) dx a	P S = / |s/(t)®'(t)| dt GL
Długość łuku krzywej	b r	fi r
	1= / y/l 4- [f'(x)]^2 dx a	l = j VW(t)]^2 + [y'(t)]^2dt a
Objętość bryły obrotowej, powstałej przez obrót krzywej dookoła osi Ox	b V = 7T J f^2(x)dx a	p V = n J y^2{t)\x'{t)\dt a
Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej, powstałej przez obrót krzywej dookoła osi Ox	b r	fi r
	P = 2n |/(a:)|\/l + [f'(^x)]^2 dx a	p = 27T y |®(*)| VW(t)}^2 + fo'C0]^2 dt a

Z

3.    Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi:

a) y = 4 — a;² i y — x² — 2x b) y = x² i x — y²    c) x = y² i y = x — 2

5. Obliczyć długość łuku krzywej:

a) y = 2e*/² 0<a:<ln2    b) y = xy/x 0<a;<4

di) y = ln x \/3 < x < \/8    e) cykloidy z zad. 2b.

{

a:(t) = e*sint y(t) = e^t cos t f) y = tga; 0 < z <

c)

0<*<tt/2

i^71-

6.    Obliczyć objętość bryły, powstałej przez obrót wokół osi Ox krzywej:

&)y = tgx 0 < x < jir    b)# = ln® l<®<e

c) y = aresin® 0 <® ^ 1    d) cykloidy z zad. 2b.

7.    Policzyć pole powierzchni, powstałej przez obrót wokół osi Ox krzywej:

a) y = yjx 2 0 < ® < 4    b) y = tgx 0 < x <

d) cykloidy z zad. 2b.

x I ^x(t) ~ 2 cos t - cos 2t

^c) <

I y(t) = 2 sin t - sin 21

1

   Obliczyć pole figury, ograniczonej krzywą y = -x² + 4r - 3 i stycznymi do niej w punktach >1(0, -3) i B(3,0).