102803

Miotechnołogin I scm. M .Twardowska Całki oznaczone 1

Całki oznaczone.

Równanie krzywej	y = /(z), a^i^b	X = x(t), y = y(ł), t£(a,p)
Pole figury płaskiej ograniczonej krzywą i odpowiednimi odcinkami	b S = J f(x)dx a	d S = J \y(t)x’(t)\,l> a
Długość luku krzywej	b 1 = J >1+ [/'(*)]* <tc	3 1 = J s/WW+WW-ii o
Objętość bryły obrotowej, powstałej przez obrót krzywej dookoła osi Oz	b ^V = * j A*) a	ił a
Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej, powstałej przez obrót krzywej dookoła osi Oz	b r = 2*J \mWl + U'(x)?dx a	3 p = 2n J iw(i)i \ZFW+FwF</< o

2*

c) x = y² i y = x -2

3. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi: a) y = 4 — x² i y = x² — 2x    b) y = x² i x = y²

4. Obliczyć pole figury, ograniczonej krzywą y = -z² 4- 4z - 3 i stycznymi do niej w punktach >1(0, -3) i Z?(3,0).

5. Obliczyć długość luku krzywej: a);/ = 2e^t>² 0s$zs$ln2

d) y — ln z \/3 < z < \/8

<0

b) y — Xy/x 0 ^ z ^ 4 e) cykloidy z zad. 2b.

z(<) = e¹ sin t

y(t)-e* cos « f) y = tg z 0 < z <

6.    Obliczyć objętość bryły, powstałej przez obrót wokół osi Ox krzywej:

a) y = tgz 0 < z < £tt    b)y = lnz l^z^e

c) y = arcsinz 0^z^ 1    d) cykloidy z zad. 2b.

7.    Policzyć pole powierzchni, powstałej przez obrót wokół osi Ox krzywej:

a) y = \/x + 2 0^z^4    b) y = tgz 0 < z <

c)

d) cykloidy z zad. 2b.

x(t) = 2cos* - cos2t

y(<) = 2sinf - sin2t

1. Policzyć całki:

1/2

^a)/7r=i

dx

»!*r

1

dx

^c) / x (cos z| dx o

d)

-2

sinzrfz

2. Obliczyć pole obszaru ograniczonego:

a) krzywą y² = z² - z⁴

Ł>) cykloidą    «e< 0.2,)