10133 str189 (3)

1

JWANIA

§6. WYZNACZANIE CAŁKI OGÓLNEJ RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO RZĘDU n

189

Mianowniki, występujące w prawej stronie wzoru (6), rozkładamy na czynniki, mamy wtedy

(7)

L(y)

C₃S³ + C₂S² + C,S + C₀

1

l+Tf'

:enie Laplace'a i korzystając

Mmr)-

rtujemy

=ł*v.

ty rozwiązanie ogólne danego

tV‘.

liczkowego

ice'a szukanego rozwiązania, nanie (por. (6.2) dla n = 4):

sformacji, str. 199) lędniając wzory (3), (4) i (5)

S

■2S+l's^Tt4'

(S-1)²(S² + 1) (S — 1) (S + 1)(S +4)

Następnie oba ułamki po prawej stronie wzoru (7) rozkładamy na ułamki proste, mamy wtedy odpowiednio

(8)

c₃s³+c₂s²+c,s+c₀ a,

+ ;

A₃S + A₄

(S-1)²(S² + 1)    S-1 (S-l)² S² + l

gdzie współczynniki A_i3 A₂, A₃, A₄ przyjmujemy za stałe dowolne, S

(9)

B,

B,

B3S + B4 B_sS + B₆

H—zs—:—r •

(S — l)²(S² +1)(S 4-4)    (S-l) (S-l)² S² + 1 S +4

Istotnym w rozkładzie (9) są tylko dokładne wartości współczynników B₅ oraz B₆. Wartości bowiem pozostałych współczynników B_X,B₂, B₃, B₄ mogą być włączone do odpowiednich stałych dowolnych A_L, A₂, A₃, A₄ występujących w prawej stronie równości (8). Biorąc to pod uwagę i uwzględniając wzory (8) i (9) widzimy, źe równość (7) może być napisana w postaci

(10)

A,

L(y) = ^ + _:

A₃S-\-A₄ B_sS + B_b

+ -—5—-■—h -

S-l ¹ (S-l)²

gdzie A_x, A₂, A₃, A₄ oznaczają stałe dowolne i gdzie B₅ oraz B₆ należy obliczyć. W celu wyznaczenia współczynników B_s oraz B₆ obie strony (9) uwalniamy od ułamków. Mamy wtedy

(11)    S = B,(S-l)(S² + l)(S²+4) + B₂(S² + l)(S²+4) +

+ (B₃S + B₄) (S-l)² (S²+4) + (B₅S + B₆) (S-l)² (S² +1). Przyjmując w równości (11) S = 2i, otrzymujemy

2i = (B₅ - 2i + B₆) (2i -l)² ((2i)² +1),

(12)    2i = (2B₅i+B₆)(-4-4i+l)(-4+l),

2i = (9B₆-24B₅)+(18B₅ + 12B₆) i.

Porównując we wzorach (12) części rzeczywiste i urojone, otrzymujemy równania

(13)    9B₆-24B₅ = 0,

18B₅ + 12B₆ = 2.

Rozwiązując układ (13), otrzymujemy

(14)

S² + l

S +4

B< =

2T>

Podstawiając związki (14) do prawej strony równości (10), mamy

A₂

(li)

A,

L(y) = -±- +

, A₃s+A₄ ts ^s+ ts

1—zzo :    +

S-l (S-l)² S²+l    S²+4

1