str191 (3)

(WANIA § 6. WYZNACZANIE CAŁKI OGÓLNEJ RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO RZĘDU n 191

(WANIA § 6. WYZNACZANIE CAŁKI OGÓLNEJ RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO RZĘDU n 191

ztałcenie Laplace’a i korzy-

Podstawiając wzory (5) i (6) do układu (3), otrzymujemy po przekształceniach

(S—l)LOO+2L(z) = C,,

(^?) !

— L(>>)+(S + l)L(z) — C₂ + -2'

:zytujemy S

S² + l

1

= cos 1,

= +sin2*.

S²+4 )

szukane rozwiązanie ogólne t +    sin 21.

o układu, przyjmujemy na-

tałcenia Laplace’a, wykorzy-

Rozwiązując układ (7) względem niewiadomych L(y) i Z. (z), otrzymujemy

^e2 ' *1

S²+l' S² + l    (S² + l) S²’

C,S’ C, —2C₂ L(y) = —5—: +-

(8)

L(z) =

CnS Ci — Ci

+

1

1

S² + l    S² + l    S(S² + 1) S²(S² + 1)

Stosując do każdego równania układu (8) obustronnie przekształcenie odwrotne Laplace’a i wykorzystując jego liniowość, otrzymujemy odpowiednio

y = Ci^^1(	s
	S^2 + l
z = C2L^_1(	1
	S^2 + l

-^C2L-1G²₊i)^+(Cl Cl)L 1(s²+i)^{+l 1}(s(S²+1)) ^l 'G²(S²+1))‘

Wyliczamy następnie, stosując twierdzenie o splocie, wzór (3.9):

(10)

OD

L ¹(-\-^ = L ¹ f    ^l( }    1 = 1 * (sin t) = fsinrdT = 1-cosf,

Vs(s²+d; \s)    \s²+v    J

o

‘"(śró) - '•"‘(^•'■“‘(to)^=(,)*^<sta,) -

= j(t —T)sinrdT = t— sini. o

Z tablicy przekształceń Laplace’a mamy

sin ł.

⁽¹²⁾    '•“‘(to)-⁰⁰⁵'' ^ł"(toH

Podstawiając wzory (10), (11) oraz (12) do równań (9), mamy y = C₁cos/+(C₁-2C₂)sinf-2t+2sint, z = C₂ cost+(C,-C₂)sinf+l —cosf-t + sint. Wzory (13) określają całkę ogólną układu (1).

uy

Zadanie 6.4. Znaleźć rozwiązanie ogólne układu

y' + z = t² + 6t +1, z'-y = -3t² + 3f+l.

(1)