63554 skan0002 (12)

20

Wyznaczyć całki ogólne podanych niżej równań różniczkowych:

i. j ₌ y^y    2 — -    +W²

tg®    dx 3 y + x²y

Rozwiązania

1. Zauważmy, że równanie można przedstawić w postaci:

1    ,    cos® ,

—;—dy = -—dx, ylny    sin x

a więc jest ono o zmiennych rozdzielonych. Całkujemy je, aby wyznaczyć całkę ogólną

J ylny    J sina;

Podstawiając

lny = t, sina; = u,

otrzymamy

dy = dt,

cos dx = du.

Z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie wynika, że

a stąd

lnjtj = ln|wj -ł- ln |C7|, gdzie C jest stałą. Stąd

lny

Szukana całka ogólna ma postać:

lub ln | ln2/| = ln|C7sina;|, = Csinz.

y = e^c,i"^T, e = exp(l|

2. Równanie można zapisać w postaci:

dy_ _ ®(2 + y²) dx    y( 3 4-®²)

i stąd

dy

dat,

a więc jest to równanie o zmiennych rozdzielonych. Po scałkowaniu mamy

■    +**)+| in W

a stąd wynika, że

2 + y² = C(Z + x²).

Wyznaczyć całki szczególne podanych niżej zagadnień początkowych: 3. y' = x²y², y(l) = -3    4. 2yy' = y² - 1, y(0) = 0

3. Równanie można zapisać w postaci:

x^zdx.

Po scałkowaniu, mamy

—a

y 3

Stałą C wyznaczymy korzystając z warunku początkowego y(l) = —3, a więc

’&'h

czyli C = 0, a stąd całka szczególna ma postać:

-•3 ’

-I. Zapiszmy równanie w postaci:

Po scałkowaniu mamy

-ty. dy = dx. y² -1

ln \y² - 1| = x + ln \C\

i stąd

Ponieważ y(0) = 0, więc C Odp.: y² m l - e®.

y²- 1 = Ce^x.

•^,lĄ