102802

Miotechnołogia I seni. M .Twardowska Całki nieoznaczone 2

6. Policzyć całki:

a) J arcsinzdx

e) f ^j3 dz

' J (l+x)¹

b) J c^si '²/w

sin 3z dx dx

^C)/(1+X2)4

g) f \

J \/1 +

dx

dx

d) J arc tg \J'2x - 1 dz

^h) J^^di

Całkowanie funkcji trygonometryczny cli.

2 1 1

sin z = - - - cos 2z.

• Ogólnie, całki z funkcji postaci 7?(sinz.cosz)    (R(x.y)

z

możemy obliczyć, stosując |Hxlstawieuie i — tg —.

«... ^2ł 1 -1²

Wtedy sin z = —^ ^ , cosz = ^ ^₂. z = 2 arc tg/,

funkcję podcałkową do funkcji wymiernej zmiennej t.

funkcja wymierna zmiennych z i y)

(Li =

2 dt 1 + f³²

Podstawienie to sprowadza

• Jeżeli całkujemy funkcję R(sm³ z, cos³ z, sin z cos z) (R(x.y. z) funkcja wymierna zmiennych z, y

x    t    1

i z), to wystarczy podstawić t = tgz (zamiast t = tg—). W^rtedy sin³ z = —^    cos³ z = ^₂ ^ ^,

dx —    Podstawienie to rówuiież sprow’adza funkcję |KKlcałkową do funkcji wymiernej zmiennej t,

X

ale wielomian w mianowniku tej funkcji przeważnie jest niższego stopnia niż przy ix»dstawieniu t = tg —.

7. Policzyć całki:

a

e

) f —

J sin z

r

’ J cos¹.

di

■di

b) f-dx

J cosz

f) /-^X—~-dx

J 1+2 cos³ z

sin z + tg z

1 — cos z ,

-dz

1 + cosz

1

dx

-»/ »/

2

2 + cos z

di

1 + cos³ z

dx

8. Policzyć całki:

cos² z dx

sin 3z sin 4z sin 5z dx

sin³ z cos⁴ z dr cos⁴ z dz

sin⁴ z cos² z dz

sin⁶ z dz

1

cos² z = - + - cos 2z, sin z cosz = - sin 2z itp.

• Całki z funkcji tg" z i ctg^mz liczymy za pomocą podstawienia odpowiednio t = tg z lub t = ctgz.

2

   Jeżeli pod całki} są iloczyny sinusów lub cosinusów różnych argumentów, wtedy zamieniamy taki iloczyn na sumę wg następujących wzorów:

sin o cos fi = - (sin(o -f (i) 4- sin(a - fi))

cos a cos (i = ^(cos(q + (i) + cos(o — 0)) sin a sin (i = - ^ (cos(a + fi) - cos(a — (3))

3

1 1 1 .