88438

Chemia 1 sem. Małgorzata Twardowska, uzup. WZ Całki nieoznaczone 2

(3)    Wystarczające wyjaśnienie i odpowiedź we wskazówkach.

(4)

f /,    ,    1    ,    ,    11 x(lnx-l) f    x(lnx-l)

= < u = x(lnx - 1), v =    a—, u = lnx, v = —-— > =--:-- 4- / dx = x--:-- + C =

{    xhrx    lnxj    lnx J    lnx

x ln x — x ln x + x „ x „

-i-+ C=j— +C.

lnx    lnx

(5) = < u = arcsin -, i/ = x², u' = .    ■ (—^ =

l ^{X    V W}

1 o    11    [ X² , f    , 2x .    -1

= ₅* arc siu - + - sgn r ^    - .r. r - ^=-» =!■<’= ^ - >} -

— -x³ arc sin — 4- - sgn x (x\/x² — 1 — f \J x² - 1 dx) —

3    X 3 V    y    /

= ^x³ arc sin — 4-    ^ sgn x    [x\/x²    -    1    -    ^ \JX¹    — 1    4-    ^ ln |x 4-    y/x² -    11 ] + C =

o    X    o    \    2    2    1    I    1

—    -x³ arc sin —f    — sgn x    (x\/ x²    —    1    4-    ln    |x 4-    \Jx² — li) 4- C.

3    x    6    V    I    1/

|x|\/x² - 1

= - sgn x

x\Jx² - 1    3

Z² 4-1

łatwiejsze, jeżeli przenieść niewymierność z licznika do mianownika:

f    li/^- \^/f2 + 2

(6) = < tgx = Z,x = arc tg f 4- kn,dx =    J ⁼ I t² + l ^ Okazuje się, że obliczenia będą trochę

y/?²!^    t² 4- 2

f² + l (<² + l)v/*2 +2

------. . H---- --- Całka z pierwszego składnika jest znana (ln / 4- \[t² 4- 2 ,

(ł² + l)VFT2 VF+2 (f² + l)v^⁷T2    I    I

obliczona przy zastosowaniu podstawienia Eulera). Do drugiego składnika stosujemy to samo podstawienie

____ ,2 2    *2 2    ___ 2    ■ I | |

Eulera 2 — /+ Vt² 4- 2 . mamy wtedy ł — —-— , dt — ^ ₀ dz , v/1² 4- 2 — —-— . wreszcie Z² 4-1 —

(t² 4-1)4-!

1

1

22²

[Az²    2 2    2² + 2    [ Az _J .    2 ,    ,

J^A^^^dz = JsTA^dz = ^{{u = Z}'^du = ^{2zdz) =}

= J    = arc tg ^ +C = aretg j +C = arc tg * + ^2/^+²il±g ₌ arc tg (ź² 4- 1 4- Z\/<² + 2) +C.

Okazuje się, że arc tg ^Z² 4- 1 4- t.y/t² 4- 2^ różni się tylko o stałą od wyrażenia arc tg    ^ . Podstawiając t =

0 widać, że ta stała to arc tg 1, czyli — . Wiadomo, że tg(o 4-/?) =    ⁺    , co pociąga za sobą odpowied-

4    1 - tg o tg p

x 4- y

nie związki dla funkcji arcus tangens, w szczególności arc tg x4-arc tg y różni się od arc tg -- o stalą (zależ-

i xy

*

4- arc tg 1 różni się co najwyżej o sta-

Całka z drugiego składnika jest równa

22

1>2

2 2

42²

n% od tego jakie warunki spełniają x i y ). Stąd wynika, że arc tg

1, od arc tg    . «_tg lĘEll . arc tg    {y^+2 + tf    _ „    ₊ , ₊ tV^) .

⁸v/ż2T2-z    ⁸(^rT2_₀₍v?rr2 ₊ 0    /

/v//2 4- 2

^ ^ dt, wystarczy wszędzie zamiast t wpisać tgx.

(7) = f \ —t—•—K— dx = {ł = tgx,dZ =—^—dx) — f t~^{3/ l}dt = At¹'⁴ 4- C = 4tg^1/4 x 4- C =

7 V sin x cos-ⁱx    cos^x J

4 sin x cos x (/sili³ x cos⁵ x

4-C.