3582327409

Chemia I aem. Wiesław Zarębski Całki nieoznaczone 1

Zadania przygotowawcze do pierwszego kolokwium - WYDZIAŁ CHEMII 2 semestr

Chemia I aem. Wiesław Zarębski Całki nieoznaczone 1

Zad.l, Rozwiązać równanie różniczkowe jednorodne x(3x² +xy - 3y²)y' + (4x² 4- xy - 4y²)y = 0. Odp.: y⁶(x 4- y) = Cx⁸(y - x) oraz y = 0,y = x,y = —x.

_r Su² — u — 3    _r dx

Wskazówka: doprowadza się do postaci J --r-,--rda — J —; w rozkładzie na ułamki proste

3 u² - u - 3

_A_^

u(u — 1)(« - 2)

x

u(u- l)(tt-2) u u — 1 u 4-1

B C

4--—- wyliczamy A = 3, B = —1/2, C = 1/2.

Zad.2.

&y__y_

dx sina;

= tg | (Uwaga: sinx =    gdzie t = tg |.)

Zad.3. (trudne) Rozwiązać równanie różniczkowe: y' 4- 2ytgx = ay²ctgx. Odp.: 2Ky = 2cos²a: 4- a$(21n |sinx| — sin²a:) oraz y = 0.

Zad. 3,5. Rozwiązać równanie różniczkowe, sprawdziwszy że jest ono równaniem zupełnym:

a) ^arctg(xy)4-

xy — 2 xy‘ 1 4- x²y²

)

j , *² - 2x²y _J dx 4- ——~2~2~dy ~ 0.

14- x

Odp.: xarctg(x£/) — ln(l 4-x²y²) = C.

= 0.

b)

{x + y)²'~~ ' {x+y)² Odp.: In \x 4- y\---— — C.

c)	'1 y^2
	x (x - y)^2_
Odp, 4-ln x-y
<*)	" c +

x+y dx + x V

4-ctg#4- tg a;

cos" x

x

(* - v¥

dy = 0.

x

x

x

² sin² y I dx

4- =0.

x

Odp.: ytgx + xctgy 4-arcsin — = C

Zad.4. Wiadomo, że pierwiastkami równania charakterystycznego równania różniczkowego liniowego o stałych (rzeczywistych) współczynnikach są: 1,1,2,3 4- i, 3 4- i, 3 — i, 3 — i. Napisać rozwiązanie ogólne tego równania. Odp.: y = Cie^x 4- Oixe^% 4- C3e^2x 4- Cas³* cos a; 4- C§e^3x sina; 4- Cgx€^3x cos® 4- C?xe^3x$mx.

e»

Zad.5. Rozwiązać równanie różniczkowe y" — 2y' 4- y = —z

^    x²

Odp.: y =    -\-K2x — ln|x|^ e^x.

(1 - a:)²

Zad. 5a. Rozwiązać równanie różniczkowe y" 4-y’ — 7——575 (trudne).

Odp.: y — arc tg a: 4- K\ 4- K^ę. ^x. Wskazówka: C'₂{x)

(14-a;²)² x²

2x 4-1

(x² 4- l)²

2x

(x² 4-1)² x² 4-1

e^x;jeden ze

składników przekształcić przez części, całka która nie da się obliczyć - redukuje się z drugim składnikiem.

Zad.6. Rozwiązać metodą przewidywań równanie y* + 3y = (13x - 15) cos 2x 4- sin 2x. Odp.: y = (3x — 4) cos 2x 4- (2x - 3) sin 2x 4- Cae^-3*.

Zad.7. Metodą przewidywań rozwiązać równanie różniczkowe y¹" 4- 4y‘ = 24x 4- 8cos2x 4- 3cosx. Odp.: y = 3x² — xcos2x 4- sinx 4- C\ 4- C2cos2x 4- Cssin2x.