przygotowanie do egz1

Zadania przygotowawcze do egzaminu z Algebry, styczeń/luty 2009

1. Niech z oznacza liczbę odwrotną do 1 + i . Która z poniższych równości jest prawdziwa, a która fałszywa? Postaw P lub F.

a) — = 1 + i , b) 2z² - i = 0    , c) arg (z^{1 2}) = iz    d) | z¹1 = - .

^z P    r    p 3

'1    2    3-3-2 -f

2.    W macierzy 2    4    6    6    4    2

-l -2 -3    0    0 0_y

a)    pierwsze dwie kolumny są liniowo niezależne; a/

b)    pierwsze trzy kolumny są liniowo niezależne; T

c)    ostatnie dwie kolumny są liniowo niezależne; f V

d)    ostatnie trzy kolumny są liniowo niezależne; ^

e)    są dwie kolumny liniowo niezależne, tylko nie umiem ich podać;

f)    są dwie kolumny liniowo niezależne, oto one (numery); 3 ' £/

g)    są trzy kolumny liniowo niezależne, tylko nie umiem ich znaleźć, tf

h)    są trzy kolumny liniowo niezależne oto one: (podać numery)

3.    Wyznaczyć podprzestrzeń przestrzeni R³, generowaną przez kolumny macierzy, danej w zadaniu 2.

a)    podać jej wymiar:

b)    podać jej bazę:

c)    podać jej równanie postaci ox+by+cz = 0 w przestrzeni R³.

4.    Rozstrzygnąć, czy następujące wektory należą do podprzestrzeni w R¹, rozpiętej przez wiersze macierzy z zadania 2:

a) [0,0,0, 0,0,0] b) [1,1,1,1,1,1] , c) [2,4,6,0,0,0]    d) [2,4,6,-3,-2,-l]

5. Wyznaczyć macierz odwrotną do wiersze to    [-1,2,-7], [1, -1, 3] .

'1 2 3'

4 5 5 , wiedząc, że jej dwa ostatnie

J ¹ K

1

Szukamy bazy przestrzeni R³, w której wektor [1,0,0] ma współrzędne 1,1,0, wektor [0,1,0] współrzędne 0,1,1 a wektor [0,0,1 ] ma współrzędne [1,0,1]. Wtedy:

a)    takiej bazy nie ma,

2

b)    taka baza jest, tylko nie umiem albo nie mam czasu jej wyznaczyć;

3

c)    taką bazą może być [1,1,0], [0,1,1], [1,0,1].