7 (253)

Egzamin z Algebry Internetowej 05.02.2005

Zadanie 1. Naszkicuj na płaszczyźnie

a)    zbiór punktów określony warunkiem: \z + ż| > |Imz|, gdzie :ęC;

b)    wszystkie pierwiastki \/—l.

Zadanie 2. Dla macierzy

5	6	1	0
-6	5	0	-1
-1	0	5	6
0	1	-6	5

a)    oblicz iloczyn A • A⁷;

b)    wykorzystując wynik z punktu a) oraz odpowiednie twierdzenia z algebry ma

cierzy (jakie?) oblicz det A;

c)    sprawdź wynik z punktu b) licząc wyznacznik macierzy A metodą Laplace’a.

Zadanie 3. Rozwiąż układ równań liniowych:

( x + 3z + 4t = —4 | 3.r + y + t = 0 < 7x + 2y -f 3z + 6t = —4 . x + 3z + 4t = —4 2x + 6z -ł- 8t = —8

Zadanie 4. Udowodnij, że zbiór V — {(a — 2b, 0,3a — b) : a,b G R} jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R³. Wskaż dwie bazy przestrzeni V. Ile wynosi dim VI

Zadanie 5. Niech / : R³ —► R³ będzie przekształceniem liniowym zadanym wzorem:

f(x, y,z) = (x + y - z, 2z, y + z).

Ile wynoszą: dimKer(/) oraz dimR(/)? Czy istnieje baza przestrzeni R³ złożona z wektorów własnych /? Jeśli istnieje, to wskaż macierz przekształcenia / w tej bazie. Wyznacz również macierz przekształcenia / w bazie złożonej z wektorów: vi = [1,0,0], v₂ = [1,1,0] oraz v₃ = [1,1,1].

Zadanie 6. Wektory AB — 5a + 2b, BC = 2a — 4b i CA = 7a + 2b tworzą trójkąt ABC; ponadto a_L6 oraz |a| = |6| = 1. Oblicz cos (^Z(BA, BC)^j, długość wysokości |AD|

opuszczonej na bok BC oraz |AB x BC|.

Powodzenia!

1