algebra0006

Egzamin 1 - Algebra liniowa - Informatyka - 2003 r.

Wszystkie zadania (1-7) "są warte* tyle samo punktów.

Czas trwania egzaminu: 2 godziny.

Przeczytaj UWAŻNIE! polecenia i najpierw chwilę pomyśl (!!!), a dopiero potem odpowiadaj (zwięźle i tylko!!!) na pytania.'Pisz to co jest rzeczywiście istotne.

Wybierz najbardziej korzystną dla siebief!!!) kolejność rozwiązywania zadań.

a	U	—1
1	a	0
0	1	a

€ M,(C)

1. (a) Obliczając wyznacznik zbadaj nieosobliwość macierz}'' A = w zależności od wartości parametru a € C.

| i + i 2i 1

(b)    Znajdź przedstawienie macierzy symetrycznej A = | *_2l q € Ma(C) w postaci

LDL¹, gdzie L £ M₂(C) jest macierzą dolno-trójkątną z jedynkami na przekątnej zaś D 6 M₂(C) jest macierzą diagonalną.

(c)    Zbadaj ilość rozwiązań układu równań

Xi 4 4o2₂ = 1 3x_t 4 x₂ =1

nad Z₅ w zależności od wartości parametru a G Z₅.

2. Niech T = R⁴ —* S.[r|2 będzie odwzorowaniem liniowym zadanym wzorem

T(a) = (aj 4 a₂ 4 a₃ 4 a«) 4 (ci — c₂ 4 <13 4 2o₄)x 4 (—«! 4 3c₂ — a₃ - Zajz*,

gdzie a =

a\

a₂

03

€ R⁴. Utwórz macierz odwzorowania T w bazach "standardowych" obu

L «4

przestrzeni (tzn. "zero-jedynkowej" i "jednomianowej⁷¹ odpowiednio). Znajdź bazy wszystkich czterech przestrzeni fundamentalnych dla odwzorowania T. Podaj wynik działania pierwszego wektora bazy ImT* (odp. KerT*) na wektorze «i 4- 2e₂ -f 3e3 4 4e₄ (odp. 1 4 2x 4 3x²) .

3A,(a) ptosując technikę rzutów prostopadłych w przestrzeniach Euklidesa oblicz odległość pumc£u A = (1,1,1) od prostej wyznaczonej przez punkty B = (1,1,0) i C * (0,1.1) w przestrzeni afinicznej R³.

(b) Podaj przykład (z krótkim uzasadnieniem) macierzy A £ M₂(R) takiej, że dla

odwzorowania T = T_A : R⁷ R⁷ zachodzą równości ImT = R

= KerT