2808184640

Biotechnologia I aem. M .Twardowska Pochodna funkcji 1

Pochodna funkcji.

•    Pochodna funkcji f(x) w punkcie Xq to f'(xo) — lim /(^o + Ax)—f(xo)

Aa-»o    Aa:

•    Jeżeli y — f{x) ma pochodną f[x) oraz funkcja z = g{y) ma pochodną g'{y), to funkcja złożona z = g[/(»)] ma pochodną z' — g'[f(x)]f'(x)

•    Jeżeli istnieją pochodne f'(x) i g'(x) to:

[/(*) ± $(*)] = f'(x) ± g'(x)

[/(*) • £P(*)] = f'(^x) ■ 9i^x) + f{x) ■ g'(x)

'f(^xY M^x).

f'{x) ■ g(x) - f{x) ■ g'(x) _Iflfcrf!_

• Pochodne niektórych funkcji elementarnych

/(*)

x^n

e^x

a^x

sina:

cos a;

tg a:

ctga;

Ina;

logo a:

arc sin a:

arc tg a;

/'(*)

nx^n~^1

1

e*

a* Ina

cos a;

— sina:

1

i

i

i

i

i

ny/x^n~^1

cos^2 a:

sin^2 a;

X

a; Ina

VX-x^2

1 4- x^2

x² + l

1. Policzyć z definicji pochodną funkcji f(x) —

2. Znaleźć pochodne funkcji: a) f(x) — sin(a;² sin x) d) f(x) = -</x(\n² x 4-ln a;²)³ g) /(*) = arc tg

1 — x

b) f(x) — arctg(ln x+x)

^e) /(*) ~ cos³ Ve²M-ln²tg$

h) f(x) = y^arcsin — x

c) f(x) =

ln(sin a:²)

a;

f) /(») = log* sin a; i) f{x) = X^6iax

3. Dla jakich min funkcja f(x) jest różniczkowaina:

a) f(x)

x² —x — 1 x < 3 ne^mx x > 3

b) f{x)

X² X < Xq

mx + n x > xq

4x

a: < 0

c) f(x) - -

aa:² + bx + c 0 < a; < 1 3 - 2x    x>l

4. Zbadać różniczkowalność funkcji:

a) f{x)

a: sin i x 0

0

x = 0

b) f(x)

a:² sin | x ^ 0

0

x = 0

x¹    x < 0

^c) fi^x) = ^ (a: — l)² 0 < x < 2 a:    a: > 2

5.    Dobrać parametr a, tak aby krzywa y — a(l + a:²) In (a; - 2) przecinała oś Oa; pod kątem a.

6.    Dla jakich wartości parametru a parabola y — ax² jest styczna do krzywej y = Ina:?

7. Wykazać, że prawdziwe są nierówności: a) e^x ^ 1 4- a:

b) — < ln(l 4- a;) < a:    dla x > — 1

1 + x

8. Wykazać, że funkcja f(x) jest stała na przedziale (1,4-oo), f(x) — 2 arc tg x -\- arc sin

2a;

1 4-ar

9. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = Vx² 4- 6a; w punkcie a;o — 2.