3582316183

Biotechnologia I aem. M .Twardowska Geometria analityczna 1

Geometria analityczna M^{1 2 3}.

Płaszczyzna w R³ :

• równ. ogólne: w : A(x-xo) + B(y — y₀) -\-C(z — Zq) = 0, gdzie v = [A, B, CĄ _L tt, zaś (xo,yo,ZQ) £7r. Prosta w B, ³ :

• przedst. parametryczne:

{x = xo + at y = yo + bt

Z = ZQ + Ct

gdzie po = {xo,yo, zq) G i, zaś v = [a, b, c] ||i

• równanie krawędziowe:

f A\x + B\y -f Ci z + Di= 0 \ A.ix 4- Biy 4- C2Z 4- D2 = 0

gdzie [Ai,Bi,Ci] x [A2,B2,C2] 7^0

• równanie kierunkowe: i :

X - Xq

a

y-yo _ z - zq b    c

gdzie

{xo,yo, zq) e l, [0,6,0] ||l.

b) prostopadłej do prostych h

i I2 : x = 3t, y = — 1 +1, z = -t

d) przecinającej proste ii

x-\~y — Q

3. Czy przez proste ii

( x — y + z + 4 = 0 2x + 3y — z — 1 = 0

i I2

x 4- 3y — 1 = 0 y + z = 0

i h

x + 5y Az — 3 = 0

można poprowadzić płaszczyznę?

x + y — 3z = 0    \ x -\-2y + 2z — 1 = 0

4.    Znaleźć rzut prostokątny punktu P( 1,2, —2) na płaszczyznę x - 2y + 32—1 — 0.

5.    Znaleźć punkt symetryczny do punktu P(l, 1,0) względem płaszczyzny x + 2y - z = Q.

6.    Znaleźć rzut prostokątny punktu P(3,5,4) na prostą i : x = —21 + 1, y = t, z — 5.

7.    Znaleźć punkt symetryczny do punktu P(l, 2, — 2) względem prostej i : x = t, y = 2t - 3, z—-t-Y 2.

8.    Znaleźć rzut prostokątny

_s    . x y — 1 z + 1    ,

a)    prostej — = —— = —-— na płaszczyznę x + y + z = 0.

Z    J.    Z

b)    prostej a; = 3 + t, y = — l+2t, z = 4-t-4t na płaszczyznę 2x + y + z — 7 = 0.

9.    Znaleźć równanie prostej, przechodzącej przez P(l, 1,—2), prostopadłej do wektora [—1,3,4] i przecinar

^    , x-1 y+4 z

jącej prostą i : —= —— =

1

Znaleźć równanie płaszczyzny H,

a)    przechodzącej przez punkt P(l, 5,1) i równoległej do wektorów u\ — [-2,1,3] i U2 — [1,4, —1]

b)    przechodzącej przez punkt P(2,4, —1) i równoległej do płaszczyzny 2x - y — 3z— 1 = 0

c)    przechodzącej przez P(3, 5,7) i prostopadłej do płaszczyzn tti : x - y -\-2z = 1 i tt2 : 3a:-t-y — z =

d) przechodzącej przez punkty >1(2,—1,3), S(1,4,2) i równoległej do wektora u = [3,1,5]

e) przechodzącej przez punkty A(—1,2,4), fl(2,1,3), C(3, —1,5)

.    .    .    ,    , x —2 y + 1 z - 3    x — 1    y-2 z + 3

r) zawierającej proste 11 : —-— = —-— = —— 1 h '■ —5— — —-— = ——

2

Znaleźć przedstawienie parametryczne prostej, przechodzącej przez punkt P(2,3,1) oraz: a) prostopadłej do płaszczyzny 7r : 5x — 3y + 2z — 1 = 0

x — y + z = 1

x 4- 2y + 3z = 2

x — 1 y — 3 z

3

c) prostopadłej do prostej —-— = —-— = —- i przecinającej prostą x —y = z

Z    Z    JL