177

352 XVIII. Całki funkcji przestępnych

Mamy więc kolejno:

I_n = — sin"^-1 x cos x+(n — 1) j sin"^-2 x cos² x dx =

= — sin"^-1 x cos x + (/i — 1) J sin"^-2 x (1 - sin² x) dx =

= — sin"^-1 x cos x + (n — 1) J sin'^1-2 x dx—(n — 1) J sin" x dx.

Możemy to napisać w postaci

/„ = -sin"^-1 x cos x+(n -1) I„_₂ — (n — 1) I_n.

Po przeniesieniu ostatniego wyrazu z prawej strony na lewą i po redukcji otrzymuje^.

n/„= —sin"^-1 x cos x+(n — 1) J„_₂

i ostatecznie dostajemy wzór redukcyjny

1    _.    n — 1    .

(18.1.3)    /„=--sin ¹ x cos xH--7„_₂, gdzie I„ = f sin" a- dx.

n    n

Uwaga. Wzór ten stosuje się w praktyce przy n parzystym, gdyż przy n nieparzystym łatwiej obliczyć całkę sposobem podanym w zadaniu 18.6.

Zadanie 18.5. Obliczyć całkę J sin⁶ x dx.

Rozwiązanie. Mamy tu całkę jak we wzorze (18.1.3), przy czym wykładnik «jest parzysty. Stosując ten w'zór redukcyjny otrzymujemy kolejno:

I₆ - —g- sin⁵ x cos x+|-/₄,    /₄= -^sin³ jccos a:+|/₂ ,

a na podstawie wzoru (18.1.2) mamy (bez stałej całkowania):

/₂ = | sin² a* dx=y x —^ sin 2x.

Podstawiając otrzymujemy kolejno:

/₄= -jsin³ x cos x+| x—— sin 2x ,

/₆= sin⁵ x cos x-j£ sin³ x cos    x—^ sin 2x.

Po uporządkowaniu i wprowadzeniu stałej całkowania mamy

J sin⁶ x dx= — 1 sin⁵ x cos x— ^sin³ x cos x-^-sin x cos x+-j^ x + C

Zadanie 18.6. Obliczyć całkę J sin¹ x dx.

Rozwiązanie. Mamy tu całkę tego typu, co w zadaniu 18.4, przy czym wykładnik jest nieparzysty. W takim przypadku wygodniej jest, zamiast używać wzoru redukOJ nego, zrobić podstawienie cosx = /. W tym celu przekształcamy funkcję podcalk'-

| sin x dx= J sin⁶ x sin x dx = J (1 —cos² x)³ sin x dx.

Wykonujemy podstawienie cos x = t, skąd —sin xdx — dt. Otrzymujemy

J sin⁷ x dx— — J(1 — t²)³ dt = - J (l - 3t² + 3t⁴ -1⁶) dt = -1 + r³ -11 ^⁵ + \ t¹ + C-

do dawnej zmiennej mamy ostatecznie

Wracają⁰

J sin⁷ x dx= -cos x+cos³ cos⁵ x+± cos⁷ x+C.

^aNIE 18.7. Obliczyć całkę J cos" * dx.

Rozwiązanie. Jest to całka podobna do całki z zadania 18.4. Na podstawie wzoru _cosX=sin(łit+x) mamy

J cos" x dx = J sin"(jJt + x) dx.

Wykonujemy teraz podstawienie \n + x = u, skąd dx = du. W ten sposób otrzymujemy

| cos" x dx = | sin" u du,

_j;izj_e u=^k+x. Metodę rozwiązywania ostatniej całki podaliśmy w zadaniu 18.4. Zadanie 18.8. Obliczyć całkę J sin⁴ x cos³ x dx.

Rozwiązanie. Mamy tu całkę typu J sin" x cos” x dx, gdzie n i m są to liczby naturalne, przy czym chociaż jeden z wykładników n lub m jest nieparzysty. Wówczas postępujemy w następujący sposób:

J sin⁴ x cos³ x dx=J sin⁴ x cos² x cos x dx=J sin⁴ x (1 — sin² x) cos x dx.

Wykonujemy podstawienie sin x=t, skąd cos xdx=dt. Otrzymujemy J sin⁴ x cos³ x dx=J r⁴(l-r²) dt = j (t* -1⁶) dtl^s -^ t⁷ + C.

Podstawiając r=sin x mamy ostatecznie

J sin⁴ x cos³ x dx=,\ sin⁵ x—\ sin⁷ x + C.

Zadanie 18.9. Obliczyć całkę J sin⁴* cos² x dx.

Rozwiązanie. Mamy tu znowu całkę typu J sin" x cos" x dx, ale oba wykładniki ⁿ 1 m są parzyste. Postępujemy w następujący sposób:

J sin⁴ x cos² x dx — J sin⁴ x (1 — sin² x) dx=j sin⁴ x dx—j sin⁶ x dx. trzymaliśmy dwie całki obliczone w zadaniu 18.5. Po podstawieniu mamy ostatecznie J sin⁴ x cos² x sin⁵ x cos x--~_i sin³ x cos x—^ sin x cos x+C. Badanie 18.10. Obliczyć całkę

r dx J sin x

_D ^°związanie. Zastrzegamy, że sin Korzystając ze wzoru na sinus podwojo-⁸⁰ kąta przekształcamy funkcję podcałkową:

f dx _ f dx    f

J sin x J 2 sin }x cos jx~ J

dx

2 tg \x cos² $x

i matematyczna cz. I