183

364 XVIII. Całki funkcji przestępnych

18.68. J	f dx sin x cos^3 x
18.70. J	dx
	1 sin ^2xcos^4x
.8,72. j	(* sin^4xdx
	1 cos X
.8,74. j	p sin ^3xdx
	cos^8 X
,8.76. j	p dx 1 5+4cosx"
18.78. J	p dx 1 sinx+cosx’
18.80. J	P 3+sin^2x
	I 2 cos^2 x—cos
18.82. J	P sin^2x—cos^2;
	I sin^4x+cos^4;

18.69. J	P dx sin^5 x cos^3 x'
28.72. j	p sin^4x ,
	3 • 1 COS °X
18.73. J	P cos^5xdx sin^3 x
18.75. j	p cos 2xdx 1 cos^3 X
,8.77. j	p dx
	1 l+sinx'
18.79.	p sinxcosxrfx
	| sin^4x + cos^4x
18.81.	p cosx+sinx
	I (sin x—cos x)^2
18.83.	P sin x cos x -7— dx. 1 l+sin^4x

18.84.

dx

J (sin² x+3 cos² x)² ’

18.85.

18.86.

dx

J sin⁴x+cos⁴x‘

18.87.

I

I

sin² x cos² x sin⁸x+cos⁸x

dx

1 — sin⁴x

dx.

§ 18.3. CAŁKI FUNKCJI CYKLOMETRYCZNYCH (KOŁOWYCH)

Zadanie 18.88. Obliczyć całkę J arcsin xdx.

Rozwiązanie. Zakładamy, że — 1<x<1. Całkujemy przez części przyjmując

dx    _r

u = arcsinx, dv = dx, skąd du = -==p= J dx = x.

VI—X²

Otrzymujemy

(1)

I

arcsin xdx = x arcsin x —

I

xdx

s/l-x²

Całkę tę obliczamy podstawiając V1 — x² = t, czyli 1 —x² = t², skąd różniczkując

m

_amy

dx = 2t dt, czyli x dx= -t dt. Jest więc

Ostatecznie na podstawie (1) mamy

J arcsin xdx=x arcsin a:+V1 — x² + C . 2adanie 18.89. Obliczyć całkę J x arctg xdx. Rozwiązanie. Całkujemy przez części przyjmując

v= J xdx=\x²

u = arctg;c,    dv = xdx,    skąd du =

Mamy więc

dx

x arctg x dx=\ x² arctg x

1+*^2’
e_lf	x^2
^2J	1+A-^2
	r dx
dx —	i+x

dx.

2=x-arctgx.

I

Obliczamy ostatnią całkę „2

fA*-    f„x-

J 1+*² J l+Jc² J

Ostatecznie otrzymujemy

j Xarctgxdx = j(x² + l)arctgx —^x+C .

Zadanie 18.90. Obliczyć całkę J (arc sin x)²dx.

Rozwiązanie. Zakładamy, że — l^x<l. Wykonujemy podstawienie arcsin x = t, gdzie    Mamy jc = sin/, skąd dx=cos t dt. Po podstawieniu otrzymujemy

(1)    j (arcsin x)² dx= j f² cos tdt.

Stosujemy wzór na całkowanie przez części przyjmując

u = t², dv=costdt, skąd du=2tdt, u= J cos t dt = sin t.

•Jest więc

| t²cos t dt = t²sin t — 2 J t sin t dt.

Płatnia całka, obliczona w zadaniu 15.16 (str. 300) daje

J tsintdf= -tcosf -fsint.

^odstawiając otrzymaną wartość do (2) otrzymujemy

J t² cos tdt = t² sinH-2tcost —2sinf.