178

354

XVIII. Całki funkcji przestępnych

Wykonując podstawienie tg ix=u(¹), skąd

dx

2 cos² \

= du, otrzymujemy

] ostatecznie (18.1.4)

f _^l₌f^ ₌ |_n |_H

J sin¹ J u

f-f— =ln jtg \x\ J sin x

+ C.

Zauważmy przy tym, że jeśli sinx#0, to funkcja ln |tg£x| istnieje. Zadanie 18.11. Obliczyć całkę

I

dx

cosx

Rozwiązanie. Zastrzegamy, że cosjc^O. Na podstawie wzoru cosx=sin(iit+y) całkę tę sprowadzamy do całki rozwiązanej w poprzednim zadaniu

dx

-J=

dx

cos x J sin(^7t+x) Wykonujemy podstawienie \n + x = u, skąd dx=du. Mamy

J

dx

du

cos x

sin u

= ln |tg iu| + C .

f —— =ln |tg(i7i+ix)j + C. J cos¹

Podstawiając u=$n+x otrzymujemy ostatecznie (18.1.5)

Zadanie 18.12. Obliczyć całkę

Ji

dx

sm x cos x

Rozwiązanie. Zakładamy, że cosx#0 i sin¹#0. Sprowadzamy całkę do wzoru (18.1.4):

—A-

J sin x cos x J sir

dx

sin 2x

Podstawiamy 2x=u, skąd 2dx=du, i otrzymujemy

x\+C.

[ .    —= [4^-=ln|tg±u|+C=ln|tg

J sinxcos¹ J sin u

§ 18.1. Całki funkcji trygonometrycznych

355

panie 18.13. Obliczyć całkę/ tg xdx.

Rozwiązanie. Zastrzegamy, że cos a#0. Przekształcamy funkcję podcałkową

f    f sinx    f -sin*

tgxdx =    - — I -ax.

J    J cosa    J cosa

W' otrzymanej całce licznik funkcji podcałkowej jest pochodną mianownika, a więc na podstawie wzoru (16.2.2) otrzymujemy

(18.1.6)    / Xgxdx= —ln|cosxJ +C.

Zauważmy, że jeżeli cos a#0, to funkcja ln |cos x\ istnieje.

Zadanie 18.14. Obliczyć całkę J ctg xdx.

Rozwiązanie. Zastrzegamy, że sinA^O. Zupełnie podobnie jak w poprzednim zadaniu, otrzymujemy wzór

(18.1.7)    jctgAt/A = ln|sinA|+C.

Zadanie 18.15. Obliczyć całkę

f dx J sin² x cos² x

Rozwiązanie. Zastrzegamy, że sin a#0 i cos a^O. Korzystając ze wzoru 1 =sin² x+ +cos² x otrzymujemy

f ^dx -1	[* sin^2x+cos^2A j |	f * , 1	r dx
] sin^2 a cos^2 a:	sin^2 a cos^2 a J	1 COS^2 A J	1 sin^2 a

f dx

—5-2- = tgx-ctgx + C.

J sin x cos x

> ostatecznie

Zadanie 18.16. Obliczyć całkę

dx sin a cos a

Rozwiązanie. Zastrzegamy, że sin a#0 i cos a#0. Stosujemy, podobnie jak w za-Poprzednim, wzór 1 =sin² a+cos² a i otrzymujemy

(1)

dx _ f sin²A+cos²A^ J* dx J sin²ACOSA J sin²Acosx J cos* J

cos X

sin² a:

dx.

fi

^erWszą całkę mamy obliczoną we wzorze (18.1.5):

(2)

1

Patrz ogólna metoda, str. 359.