182

362 XVIII. Całki funkcji przestępnych

Pierwsza całka daje — i ln(2/² + 3). Drugą całkę łatwo obliczymy wykonując po^ wienie f = V|w; otrzymujemy

f* dt    1    —

i I ⁼ ” * ^arctg “ ⁼ 4^ ^{arctg (}•

Trzecia całka daje |ln(2/² + l). Wreszcie czwarta całka (po podstawieniu t=j_u x daje

Podstawiając obliczone wartości całek i przyjmując z powrotem t = tgx otrzymujemy ostatecznie

/=*ln

^l⁸;*** +-T7? ^arct8 (Vi tg x) +Y~f= arctg(V2 tg *) + C.

2tg z+3 4^/6    4^2

Zadanie 18.28. Obliczyć całkę

I

xdx

cos²*

Rozwiązanie. Zastrzegamy, źe cosx#0. Całkujemy przez części przyjmując

dx

dx

u=x, dv=——

COS X

skąd du

= dx, v= j*

2 ^{= t}g* • cos X

Otrzymujemy

f xdx    f

-5-=*tg*- tg xdx.

J cos² x    J

COS X

Po uwzględnieniu wzoru (18.1.6) mamy

xdx

I

cos²*

= *tg* + ln cos* 4-C .

Jeżeli cos *#0, to całka powyższa istnieje.

Zadanie 18.29. Obliczyć całkę J * tg² xdx.

Rozwiązanie. Zastrzegamy, że cos *^0. Opierając się na wzorze

-1

1

tg *=

cos *

otrzymujemy

i na podstawie poprzedniego zadania mamy ostatecznie

J *tg²*d* = *tg* + ln |cos*| — i*² +C . Jeżeli cos *^0, to całka powyższa istnieje.

Zadania

Obliczyć całki (zad. 18.30- 18.87): 18.30- Jcos5xcos7xdx.

18.32. J cos 2x cos 3x dx .

18.34. C cos 2x sin 4x dx .

18.36. Jcosxcos3xdx.

18.38. | sin 5x sin 2x dx .

18.40. J sin*xdx .

18.42. f cos⁵xdx.

18.44. Jtg^s xdx.

18.46. J ctg⁶ x dx .

18.48. J sin⁷ xcos⁶xdx .

18.50. Jsin²xcos²xrfx.

18.52. J sin⁴xcos⁵xdx.

18.54. J sinxtgxdx . sinxć/x

18

«.J

-Irl

.60. f®

J si

V1 +2cosx sin 2x

dx .

18 18.62 18.64. 18.66.

cos³ X

sin² x

dx

r dx

J sin³x

dx

sin⁴x

18.31.

18.33.

18.35.

18.37.

18.39.

18.41.

18.43.

18.45.

18.47.

18.49.

18.51.

18.53.

18.55.

18.57.

18.59.

18.61.

18.63.

18.65.

18.67.

J sin3xcos2xrfx. J sinxcos3xdx.

J sin 2x sin 5x dx . J sin 3xsiuxdx.

J sin³xdx.

J cos⁴xdx.

J sin⁵xc/x.

J ctg * xdx .

Jsin³xcos⁴xdx. J sm⁵xcos²xdx. J sin³xcos³xdx. cos xdx

\

sin⁸x

cosx

dx.

I

I

/%

I

I

f

sin x sin2xdx V1 +cos²x sin2xrfx

V1—si

sin⁴x

sin³x+cos³x

sin² x — sin x cos x +cos² x dx

cos³ x

dx

cos⁵x

dx

sin xcosx

dx.