0503

505

§ 2. Całki niewłaściwe z funkcji nieograniczonych

A więc całka jest zbieżna.

i

2)    f ■    ..........*    (k²<l). Wielkość rzędu 4- • Całka jest zbieżna.

1

3)    J jr^ln x dx. Jeżeli p>0, to /(ar) = x*ln x -► 0, gdy x -*-0. Całka istnieje jako całka właściwa, o

Dla /u<0 funkcja podcałkowa przyjmuje wartość oo dla x = 0.

Jeśli fi > — 1, to biorąc A spełniające nierówność 1 >A > |/*| «= —p otrzymujemy

^JŁŁ-j^lnsr-0 (dla x —0). l/x^x

} dx

Ponieważ całka J ~x jest zbieżna, więc dana całka jest też zbieżna (zgodnie z twierdzeniem analogicznym o *

do twierdzenia 2 z 474) (^Ł).

i

Wreszcie, jeżeli p < — 1, to całka / x<^tdx jest rozbieżna, a dana całka jest tym bardziej rozbieżna,

o

gdyż

= ln * ->- oo (dla x -*■ 0)

(zgodnie z tym samym twierdzeniem).

Dalsze przykłady czytelnik znajdzie w następnym ustępie.

Stosując kryterium Bolzano-Cauchy’ego otrzymujemy taki ogólny warunek zbieżności:

b

Na to, żeby całka niewłaściwa j f (x) dx [gdzie b jest punktem osobliwym) była zbieżna,

a

potrzeba i wystarcza, żeby każdej liczbie z > 0 odpowiadała taka liczba 8 > 0,żedla0< tj < 8 i 0 < t\' < 8 zachodzi nierówność

b-f

!‘ f(x)dx\< Z.

b-n

Stąd, tak jak poprzednio, wynika:

b    b

Jeżeli całka f |/(x)| dx jest zbieżna, to (²) tym bardziej jest zbieżna całka J f(x) dx.

a    a

Twierdzenie odwrotne nie jest na ogół prawdziwe. Dlatego też i tutaj wyróżniamy

b    b

specjalnie przypadek, gdy wraz z całką f f (jc) dx jest zbieżna całka J | /(x)| dx. Pierwszą

a    a

całkę nazywamy wtedy bezwzględnie zbieżną, a funkcję f{x) bezwzględnie całkowalną w przedziale <a, fc>.

Można tu udowodnić twierdzenie analogiczne do ostatniego twierdzenia ustępu 476.

(') Do funkcji x'ⁱ ln x stosujemy kryteria dotyczące funkcji dodatnich, ponieważ można z niej zrobić funkcję dodatnią przez zwykłą zmianę znaku.

(²) Przy założeniu, że funkcja f(x) jest całkowalna w sensie właściwym w każdym przedziale <a,b-v> (V>0).