0505

507

§ 2. Całki niewłaściwe z funkcji nieograniczonych

483. Przykłady. Zbadać zbieżność całek: * ¹

1) (a) f _ T_ -.    (b) f --^-

o ycosy-cosfl    ^JQ \/_x(e*-ć-*)

(e) T/.cose-sin.9y_rf<?

J \ cos 0+sm 0 /

ni 2

. (c) f-~, (d) J (tgx)’dx,

Rozwiązanie, (a) Punkt osobliwy <p *= 6. Z uwagi na istnienie pochodnej

lim ^c°^s y~.^cos 6 = -sinO.

9-fl 9>-v

Wyrażenie podcałkowe będzie (dla q> -*■ 0) nieskończenie duże rzędu y (względem )• Zbieżność,

(b) Punkt osobliwy x = 0. Ponieważ

Hm-£=£1 = 2,

*-o X

1 2

więc rząd wyrażenia podcałkowego względem—jest równy — . Zbieżność.

(c) Tu też

ln x x-l

1 dla *    1 .

Rząd (względem y—-) jest równy 1. Rozbieżność.

(d)    Jeśli p>0, to punktem osobliwym jest re/2, jeśli p<0, punktem osobliwym jest 0. W obu przypadkach wyrażenie podcałkowe jest rzędu \p\. Mamy więc zbieżność dla |p|< 1 i rozbieżność dla |p|>l.

(e)    Gdy p>0, punktem osobliwym jest —n/4, a gdy p<0, punktem osobliwym jest jr/4. Odpowiedź taka sama jak poprzednio.

(b) f *^b~±:^xf‘.— dx (a, b > 0) , J ln x o

tt/2    n/2

(c) J lnsinx<fr, (d) J ln |sin²0— k²\ dd {k² < 1). o    o

Rozwiązanie, (a) Gdy x -*■ l, funkcja podcałkowa dąży do 0. Punkt osobliwy x = 0. Jeżeli 0<A<1, to

_jĘ£_:_L ₌ ^Ją^^o dla x -> 0.

|/l—x² x^l y\—x²

Zbieżność.

(b) Oblicząjąc wyrażenie nieoznaczone stwierdzamy, że funkcja podcałkowa ma granicę skończoną (— b—a), gdy x -*■ 1. Punkt osobliwy x = 0 (jeżeli chociażby jedna z liczb a, b jest mniejsza niż 1, co też

założymy). Stosunek funkcji podcałkowej do licznika równy -*■ 0 (dla x -*■ 0). Ponieważ

i

J (x^t~^l — x*~^ł) dx jest zbieżna, więc zbieżna jest także nasza całka.