0511

513

§ 2. Całki niewłaściwe z funkcji nieograniczonych

Jeżeli funkcja f(x) jest parzysta, to

/ /(jt) dx = 2 J /(*) rfz,

-4    O

>4

i granica tej całki istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica całki J /(*) dx₉ tzn. gdy istnieje całka

o

+00 +00

niewłaściwa J f(x) dx, a wraz z nią takie J f(x) dx. Tak więc w przypadku funkcji parzystej wartość głów-

O    —CO

na całki istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje całka niewłaściwa, są więc one oczywiście równe.

Dowolną funkcję f{x) całkowalną w każdym przedziale skończonym możemy przedstawić w postaci sumy dwóch funkcji

₌/(*)+/(-*)    ; _{v(x) =} f (*)-/(-£

parzystej i nieparzystej, tak samo całkowalnych.

Z tego, cośmy przed chwilą powiedzieli, widzimy, że

+00 +00 v.p. / f{x) dx — JT f (jt) dx ,

—00 —00

1

jeżeli ta ostatnia całka niewłaściwa istnieje. Biorąc na przykład pod uwagę to, że funkcja ^ ^ składa się z części parzystej    • części nieparzystej ^    , możemy od razu napisać

dx

V.p. f —i*- dx - f

J l+.r^J J 1+Jf²

= rc.

485. Uwaga o wartościach uogólnionych całek rozbieżnych. W §9 rozdziału XI zajmowaliśmy się sumowaniem szeregów rozbieżnych, dla których określaliśmy według pewnego prawa „sumę uogólnioną".

Podobnie istnieją metody, które pozwalają w pewnych przypadkach określić uogólnione wartości całek rozbieżnych. Właściwie robiliśmy to już także w poprzednim ustępie, przez wprowadzenie pewnych upraszczających założeń specjalizujących te przejścia do granicy, które zazwyczaj prowadzą do zwykłych całek niewłaściwych. Tutaj chodzi o zasadniczo inne procesy podobne do tych, z których korzystaliśmy w przypadku szeregów rozbieżnych. Ograniczymy się do dwóch przykładów takich procesów, które są odpowiednikami metody Cesary i metody Poissona-Abela dla szeregów.

I. Niech funkcja f(x) będzie określona dla ,r>0 i całkowalna w sensie właściwym w każdym przedziale skończonym (0, x), lecz niecałkowalna w przedziale <0, oo). Określmy funkcję

fW = //(O dt

O

i utwórzmy jej wartość średnią

X

— f F (u) du . x J o

Jeżeli ma ona granicę skończoną

X

lim— f F(u)du = /,

x—co X J O

to tę właśnie granicę będziemy traktowali jako wartość uogólnioną całki.

Zastosujemy to na przykład do znanej nam już całki rozbieżnej

oo

f s\nxdx o

33 Rarhunnk rń7tilp*kftu/v