0499

§ 2. Całki niewłaściwe z funkcji nieograniczonych

501

Gdy fal, całka

/

dx

!(*—ff¹-*]

ma dla ij -»■ 0 granicę oo lub skończoną * . (6—o)^1-* w zależności od tego czy, A>1 czy też A< 1. Jeśli

1 "“A

A = 1, to

■

f ...... ln (b—a)—In y -*■ oo (dla v -*-0).

J x—a

A więc całka (4) jest dla A<1 zbieżna i ma wartość -yij-(ń—fl)^1_A, a dla A > 1 rozbieżna [porównaj 470, 2)].

5) Podobny wynik możemy otrzymać dla całki

f — * ■ (b > a, A > 0),

która nie różni się istotnie od poprzedniej.

Uwaga. Warto zauważyć co następuje: jeżeli funkcja f[x) jest w przedziale {a, by

b

całkowalna w sensie właściwym (a więc całka J / (x) dx jest już określona), to równość

a

graniczna (1) [(2) lub (3)] ma tu także miejsce. Wynika ona bezpośrednio z ciągłości całki względem zmiennej górnej (dolnej) granicy całkowania [305, 11°]. Tak więc jako definicję całki niewłaściwej przyjęliśmy równość, która jest spełniona sama przez się w przypadku całki właściwej.

Rozpatrzmy wreszcie funkcję f(x) określoną w przedziale nieskończonym, na przykład w przedziale <a, + oo) i mającą w tym przedziale skończoną liczbę punktów osobliwych (^ł), w otoczeniu których nie jest ona ograniczona. Załóżmy, że w każdym przedziale skoń-

A

czonym <a, A), całka J f(x) dx istnieje jako właściwa lub niewłaściwa, zgodnie z podaną

a

definicją. Przechodząc wtedy jeszcze raz do granicy, gdy A -* oo, można za pomocą równości (1) [470] zdefiniować całkę niewłaściwą w przedziale <a, +oo>.

W przypadku przedziału nieskończonego punkt ± oo odgrywa tę samą rolę co i punkty osobliwe i wymaga podobnie jak one, dodatkowego przejścia do granicy. Na tej samej podstawie punkt ± oo także nazywamy osobliwym, niezależnie od tego, czy funkcja będzie przy x -* oo ograniczona czy też nie.

480. Uwaga o punktach osobliwych. Rozpatrzmy funkcję f(x) określoną w przedziale skończonym <o, by i załóżmy, że jest ona niecałkowalna w sensie właściwym w tym przedziale. Musi wtedy istnieć w przedziale (a, by taki punkt c, w którego każdym otoczeniu funkcja jest niecałkowalna w sensie właściwym.

(') Punktów osobliwych może być także nieskończenie wiele, byleby tylko w przedziale skończonym <a, A} (A >a) była ich liczba skończona (która może rosnąć do nieskończoności wraz z A).