0501

503

§2. Całki niewłaściwe z funkcji nieograniczonych

i istnienie odki niewłaściwej (l)jest równoważne z istnieniem skończonej granicy lim F(b—rj).

1,-0

Jeżeli ta ostatnia istnieje, to naturalne jest przyjęcie jej jako wartości F(b) funkcji pierwotnej dla x = b, uzyskując w ten sposób ciągłość funkcji F(x) w całym przedziale <tz, by. Mamy więc wzór na odkę (1) w jego zwykłej postaci

(5)    j f{x) dx = F(b)—F(a) - F(x)\^btt.

a

Ten sam wzór jest słuszny także wtedy, gdy punkt osobliwy leży wewnątrz przedziału lub gdy istnieje kilka punktów osobliwych, ale (należy o tym dobrze pamiętać) tylko wtedy, gdy funkcja pierwotna F(x), której pochodną jest wszędzie z wyjątkiem punktów osobliwych funkcja f(x), jest ciągła także w tych punktach osobliwych. Istnienie takiej funkcji pierwotnej jest warunkiem koniecznym istnienia całki niewłaściwej.

Uwaga. „Funkcję pierwotną” F(x) można by rozumieć w nieco ogólniejszym sensie: f(x) musi być pochodną F(x) wszędzie poza punktami osobliwymi i być może jeszcze pewną skończoną liczbą punktów, byleby w tych punktach była zachowana ciągłość funkcji F(x) [porównaj 310].

Zastępując w podstawowym wzorze (5) b przez x, a/(x) przez F'(x) możemy go napisać, tak samo jak w 310, w postaci

X

F(x) =,F(a)+ J F'(x) dx .

a

A więc korzystając z danej pochodnej F'(x) odtwarzamy funkcję pierwotną F(x), jeżeli tylko pochodna ta jest całkowalna, chociażby nawet w sensie niewłaściwym.

Przykłady

8

1) f —. Punkt osobliwy x — 0. Ponieważ funkcja pierwotna y x²¹³ jest ciągła w tym pun--i Y*

kcie, całka istnieje: