0532

534

XIII. Całki niewłaściwe

495. Całki Froullaniego. Rozpatrzmy zagadnienie istnienia i obliczenia pewnego szczególnego typu całek niewłaściwych które są zwykle nazywane całkami Froullaniego.

I. O funkcji f(x) zrobimy następujące założenia: 1° jest ona określona i ciągła dla x >0 i 2° istnieje granica skończona

/( + oo) = lim/(x).

x-+oo

zim_dx= ri&±_dx- fiy*L_{dx =}

X    J X    J X

Z 1° widać, że istnieje (dla 0 < S < A < + oo) całka C f(ax)

6 6 6

ad    bd    bó    bd

. rm*. f/w*. rm_Jz- rm«.

J    Z    J    Z    J    z    J    z

aó    bó    aó    ad

Nasza całka jest natomiast określana za pomocą równości

/

f(ax)-f(bx)

x

dx — lim

4-0

ot

f

m

bJ

dz—lim f - _dz.

J-»00 •/    ^

md

Stosując do tych dwóch ostatnich całek uogólnione twierdzenie o wartości średniej, otrzy mujemy

bó    bó

( [ML_dz=f(ę) f — =/(£)ln— (gdzie aó^ę^bd) J    z    J    z    a

ci    ci

i analogicznie

bd

f dz = / (ii) ln —    (gdzie aA ^ 17 < bA).

J z    a

Ponieważ oczywiście £    0 (gdy 5 -*• 0), a ą -»• + oo (gdy d + oo), więc mamy stąd

J /(ax)-/(óx) ^ _ [/(0)-/(+oo)] ln-

(4)

x

a