0512

514

XIII. Całki niewłaściwe

[472, 4)J. Jest tu f(x) — sin x, F(x) = 1 —cos x i

lim— f F(u)du = lim    = 1.

*-♦ co ^ *    *-*oo X

o

„Wartością uogólnioną” całki rozbieżnej (6) jest tu więc liczba 1.

Oczywiście także tutąj powstaje pytanie, czy metoda ta jest regularna, tzn. czy przypisuje ona całce zbieżnej

(7)    J f(x)dx,

o

mającej według definicji z ustępu 470 wartość skończoną /, tę samą liczbę / jako „wartość uogólnioną”. Wykażemy, że tak właśnie jest.

Dla dowolnego e>0 można, z uwagi na zbieżność całki (7), dobrać takie x_o>0, że jeżeli x>x₀, to

|F(jc)-/| < j e, gdzie F{x) = J f(t) dt.

o

Przyjmując x>x₀ mamy

X    x    *0    X

— f F(u) du—I = — f [F («)-/]</« = -1 f [F(«)—/] du+ (l—^2-1—J— f [F{u)-I]du,

X j    X J    X j    \ X / X — Xq J

a więc

*    | X    X

— \ F(u)du-1 < — f lF(u)-I]du +—l— f \F(u)-I\du.

X j    X W    X—Xq J

ⁿ    'o

Drugi składnik po prawej stronie jest < ~ e (z uwagi na sposób wyboru x₀)> natomiast pierwszy także będzie < ~ e dla dostatecznie dużego x. Również

X

— f F(u) du—1

X j

a więc rzeczywiście

lim— f F(u)du = /. * J

II. Tjrm razem dla ustalonej funkcji f(x), której całka (7) nie istnieje, rozpatrzymy inną całkę

/ r"/W dx.

O

Jeżeli ta ostatuia całka jest zbieżna dla fc>0 i istnieje granica skończona

lim f e~^lxf(x)dx = I,

~®o

to granicę tę przyjmujemy jako wartość uogólnioną całki rozbieżnej (7).

Dla przykładu rozpatrzymy znów całkę (6). Ponieważ

•    j

f e~*^x sin x dx = ———

J    k>+1

472,1)] dąży do 1, gdy k -*■ +0, więc tutaj także „wartością uogólnioną” całki (6) jest 1.

Do zagadnienia regularności tej drugiej metody powrócimy dalej [520].