0546

548

XIII. Całki niewłaściwe

Przy obliczeniu tej ostatniej całki wygodnie jest skorzystać ze znanego już nam rozkładu sin"* na sumę sinusów i kosinusów łuków krotnych [461, 3), (a) i (b)].

Rozpatrzmy różne przypadki, które mogą tu wystąpić.

(a) n — 2v+l, m = 2/i+l. Wtedy

—- sin^2v+1* =    |"(2j'+1)^2m sin (2r+l) *-

dx²“    2^1V L

—(2v+1) (2v—l)^2,t sin(2v— 1) x+ ^(2v^ ^2r (2v-3)^2)l sin (2v-3) x- ...J i na podstawie wzoru (11)

f 3Lⁿ-^V+lx dx = ⁽~^1)ł- . — [(2i’+ l)^2|i—(2v+1) (2i—l)^ł,i+ -^{(2>,+ 1)}-²¹' (2i’—3)³**— ...1,

-    v*ł^,+»    2^IV-(2«)! ² L    ^1-2    J

(b) n = 2v, m = 2/i+l. W tym przypadku

—— sin^2v.v = ———-f(2r)¹^* cos 2vx—2v (2v—2)^2u cos (2v—2) jc+

dx*»•    2^IV-‘ L

+ ^2l> ^ ^1} (2r-4)^ł"cos (2v-4)x- ...j .

Łatwo zauważyć, że lewa strona jest równa 0 dla r = 0 (ponieważ v>/i). A więc suma współczynników przy kosinusach równa się 0 i możemy skorzystać z poprzedniego przykładu 20. Stąd

f iL".dx = ^{( 1)V}^-* tar)²" ln 2v~2r(2r-2)ⁱ>‘ In (2i—2)+

J _xm₊i    2^2v-‘(2/i)! L

+ ²?^(2ł,~¹⁾ (2v—4)²" ln (2r—4)— ...1.

1-2    J

W analogiczny sposób otrzymuje się wzory w przypadku (c) n = 2v+1, m = 2/i i (d) n =* 2i% m = — 2/i. Należy zauważyć, że w szczególności dla dowolnego n>2 jest

/    - nPiji-    +    -] •

O

22) Za pomocą tego samego rozkładu z 461, 3) (b) łatwo można otrzymać (w przypadku p>0), że f sin^2v+ipx _dx = (-l)^v* r,_₍₂,₊ |)+ (2v+1) 2r _    _{|( 1}}, (2r+l)-2r- ... -(r+2) 1

J x    2^2v+1 L    1-2    1*2- ... -r J"

O

Nawiasem mówiąc, wyrażenie to daje się za pomocą elementarnych przekształceń sprowadzić do prostszego:

k_ (2r—I)!!

2 ‘    (2v)!!    ’

00    , 4U

/siu px

-— dx jest rozbieżna. Całka Froullaniego

o ^x

f ^sin-V.-^SiⁿLV dx (p,q> 0)

J    X

o

nic spełnia warunków z ustępu 495, ale za pomocą rozkładu z ustępu 461, 3) (a) można łatwo wykazać,