0497

499

§ 2. Całki niewłaściwe z funkcji nieograniczonych

§ 2. Całki niewłaściwe z funkcji nieograniczonych

479. Definicja całki z funkcji nieograniczonej. Rozpatrzmy teraz funkcję f(x) określoną w przedziale skończonym (a, by, lecz nieograniczoną w tym przedziale. Załóżmy nawet dokładniej, że funkcja jest ograniczona i całkowalna w dowolnym przedziale (a,    (0 < rj < b-a), lecz jest nieograniczona w każdym przedziale (b—ti,by na

lewo od punktu ń. Punkt ń nazywamy punktem osobliwym funkcji /(x).

Granicę skończoną lub nieskończoną całki J f(x) dx dla ą -* 0 nazywamy całką nie-

a

właściwą funkcji f (jc) w przedziale od a do b i oznaczamy jak zwykle

O)

J f(x) dx = lim J f(x) dx

W przypadku gdy granica ta jest skończona, mówimy, że całka (1) jest zbieżna, a funkcję/ W nazywamy całkowalną w przedziale (a, by. Gdy natomiast granica (l) jest nieskończona lub nie istnieje w ogóle, mówimy że całka jest rozbieżna.

Przykład. 1) Funkcja * -jest ograniczona i całkowalna w dowolnym przedziale <0,1— ij> 1/ 1 —

1-1

/

arc sin x

i-*

arc sin (!—»?).

o

W punkcie x = 1 funkcja ma wartość nieskończoną. Przypominamy, że znaczy to tylko, że funkcja 1/j/l— x² dąży do nieskończoności, gdy x-*■ 1. Oczywiście w dowolnym przedziale (!—»/, 1) funkcja jest nieograniczona, a więc punkt x = 1 jest jej punktem osobliwym. W praktyce mamy zazwyczaj do czynienia właśnie z tego rodzaju punktami osobliwymi.

Ponieważ badana całka dąży do granicy arc sin 1 * rc/2, gdy i] -*■ 0, więc istnieje całka niewłaściwa

i

i-ii

Przyjmijmy teraz, że funkcja f(x) jest ograniczona i całkowalna w dowolnym przedziale (a+f, b} (0 < ą’ < b-a), lecz jest nieograniczona w każdym przedziale (a, a+r\'y na prawo od punktu a (punkt osobliwy). Całka niewłaściwa funkcji f (x) w przedziale od adob jest wówczas określona równością

(2)

W ogólnym przypadku funkcja f(x) może mieć w przedziale (ja, by dowolną skończoną liczbę punktów osobliwych c₀, c₁₍ ..., c_m__l, c_m, w których otoczeniu jest nieograniczona, podczas gdy w każdej części tego przedziału nie zawierającej punktów osobliwych funkcja jest ograniczona i całkowalna.

32*