0493

495

§ 1. Całki niewłaściwe o granicach nieskończonych

Stąd, gdy przyjmiemy k =* E    »będziemy mieli dla dowolnego A>a

A    4 A-M m+<D

|/ f(x)dx\ — | /|-|/ |< / I / (*)l dx = L,

a    «+k<D    •    «

a żądany wniosek wynika już bezpośrednio z kryterium Dirichleta.

(b) Załóżmy teraz (9*) i zastąpmy /(x) przez f(x)—Klw. Ponieważ funkcja ta spełnia założenie (9), wiec całka

(5*)    / [/«--£-*]?(*)<** jest zbieżna, jak to zostało udowodnione. Stąd już widać, że całki (5) i (10) są zbieżne (lub rozbieżne) jednocześnie.

7)    Jeżeli przyjmiemy na przykład /(x) = sin²x w przedziale <0, + oo) i co = it, to zobaczymy, że

n

f sin²x dx — — # 0,

o    ²

a więc całka

«0

/ sin ¹x-g(x)dx

o

jest (przy poprzednich założeniach co do g) zbieżna lub rozbieżna równocześnie z całką (10).

Przeciwnie, całka

a    oo

J (y — sin²xj g(x)dx = -j j cos 2x ■ g (x) dx

o    o

jest zbieżna w każdym przypadku niezależnie od zachowania się całki (10)!

8)    Zbadać zbieżność całek

X

(a) f e'"* sin (sin x)—,    (b) f e^,,0*sin(sin x)—

J    y    *    y

(a)    Mamy

2TC    TT 2TT

/ e^co,)rsin(sinx)<£* = / + / = 0, o    o u

gdyż druga z tych całek różni się od pierwszej tylko znakiem (podstawienie z = 2*—x). Z 6) wynika, że całka (a) jest zbieżna.

(b)    Tym razem

/ c*'“* sin (sin x) dx > 0, o

więc [patrz 6)] z rozbieżności całki

f — (a > 0)

J X

wynika, że całka (b) jest rozbieżna.