0485

487

§ 1. Całki niewłaściwe o granicach nieskończonych

Kryteriów z ustępu 474 nie można stosować bezpośrednio w przypadku, gdy funkcja f(x) nie ma stałego znaku. Można natomiast spróbować ustalić z ich pomocą zbieżność całki z funkcji dodatniej |/(x)|. Jeżeli ta funkcja jest całkowalna, to funkcja f(x) też jest całkowalna i to bezwzględnie.

Stąd otrzymujemy następujące twierdzenie, które jest często przydatne.

Jeżeli funkcja f(x) jest bezwzględnie całkowalna w przedziale <a, + oo), a funkcja g(x) jest ograniczona, to ich iloczyn f (.y) • g(x) też jest funkcją bezwzględnie całkowalną w przedziale <a, + oo>.

Dla dowodu wystarczy powołać się na nierówność:

\Hx)-g(x)\ <L-|/(x)|.

Niech na przykład, będzie dana całka J

i

cos ax

1

_{Ł2 2} dx. Funkcja f(x) =    ■ ■■ jest tu, jak się oka-

K*tX*    zi

żuje, bezwzględnie całkowalna, podczas gdy g(x) — cos ax jest oczywiście ograniczona. Stąd wynika bezwzględna zbieżność danej całki.

Jak widać, w przypadku funkcji nie zachowującej stałego znaku, można przy sprzyjających warunkach ustalić za pomocą wyłożonej tu teorii tylko bezwzględną zbieżność całki. Jeżeli natomiast całka z danej funkcji jest rozbieżna lub zbieżna, lecz nie bezwzględnie, to nie można rozróżnić tych przypadków za pomocą sformułowanych tu kryteriów.

476. Kryteria Abela i Dirichleta. Podamy teraz kryteria innego typu, oparte na zastosowaniu drugiego twierdzenia o wartości średniej [306]. Są one analogiczne do kryteriów Abela i Dirichleta zbieżności szeregów nieskończonych [384], najwygodniej więc będzie powiązać je z tymi właśnie nazwiskami. Za pomocą tych kryteriów można będzie ustalić zbieżność całek niewłaściwych w wielu przypadkach, kiedy są one bezwzględnie zbieżne.

Kryterium Abela. Niech funkcje f(x) i g(x) będą określone w przedziale <a, oo), przy czym

1)    funkcja f{x) jest całkowalna w tym przedziale, więc całka (1) jest zbieżna (chociaż nie bezwzględnie),

2)    funkcja g(x) jest monotoniczna i ograniczona:

\9(*)\ ^ L (L — const, a x ^ co) •

Wtedy całka

(6)