0487

489

§1. Całki niewłaściwe o granicach nieskończonych

są zbieżne. Korzystamy z kryterium Dirichleta przyjmując f(x) = sin x lub cos x, a g(x) == l/x^l. Założenia 1) i 2) są spełnione, gdyż

A    A

|J sin xdx| = |cos x—cos A\ < 2 i analogicznie |J cos x dx\ < 2 ,

a funkcja —_r monotonicznie malejąc dąży do 0, gdy x -*■ oo. W szczególności wynika stąd dla 2 = 1 zbieżność całki

J X o

(moglibyśmy przyjąć tu a = 0, ponieważ funkcja podcałkowa ma granicę skończoną dla x -* 0). Można wykazać, że całka ta jest zbieżna warunkowo, tzn. że całka

JJhlsL*

jest rozbieżna. Rzeczywiście, gdyby ta całka była zbieżna, to na mocy twierdzenia 1 z ustępu 474 zbieżna byłaby całka

[™ŹLdx (a > 0) , J x

gdyż sin²jc < |sin x|. Inaczej mówiąc, byłaby zbieżna całka

1 /' 1 —cos 2x

ii

dx.

Po dodaniu do niej na pewno zbieżnej całki

dx

1 f cos 2x

doszlibyśmy do wniosku, że całka

OO

1    /• dx

2    J x

jest zbieżna, a tak nie jest [470, 2)].

Uwaga. Teraz, gdy stwierdziliśmy już zbieżność całek

F ilSJLrf* i fSSŁ*._dx,

J X    j X

możemy wreszcie lepiej sprecyzować definicje funkcji nieelementarnych si x („sinus całkowy”) i ci jc („kosinus całkowy”), o których mówiliśmy już w ustępie 289. Przyjmujemy mianowicie

f Jim* (*_>0), ci x^-fs°LL

J t    J t

dt

(* > 0).