3582320330

Całka niewłaściwa

1. Całki niewłaściwe o granicach nieskończonych

f :[a,<»] -> R

f 6 R [ a, A], [ a, A] — dowoln y _ przedział ^Va*,^; \f(x)dx

a

A

Definiujemy całkę niewłaściwą jako: J f (x)dx = lim J f (x)dx

a    a

Jeżeli powyższa granica jest właściwa to mówimy, że cała całka na tym przedziale jest całką niewłaściwą pierwszego stopnia i jest ona zbieżna.

W przypadku, gdy powyższa granica nie istnieje lub jest niewłaściwa to całka jest rozbieżna. Analogicznie określamy całkę dla przedziału (a]:

u    u

f f(x)dx = lim [    f(x)dx

J    A->-ooJ

-W    A

•foo    A

UWAGA: f f(x)dx* lim [ f(x)dx

J    A-)-oo J

-oo    -A

oraz dla przedziału (~+°°):

| f(x)dx = | f (x)dx + J f (x)dx

—oo    —oo    a

+v>    faf    a    A

f f(x)dx = lim [ jf(x)dx+ lim [ f(x)dx

j    A'—>-OC J    A—»+ooJ

A¹

Analogia i szeregami

SZEREG	CAŁKA NIEWŁAŚCIWA
oo Y aa - wyraz ogólny an n=1	J f (x)dx - funkcja podcałkowa f(x) a
N suma częściowa an n=l	A całka właściwa J f(x)dx
N suma szeregu S = lim ^ an n=l	+oo A f f(x)dx= lim f f)x)dx J A-ł+oeJ a a

SZEREGI TRAKTUJEMY JAKO WERSJE DYSKRETNE DLA CAŁEK, ZAŚ CAŁKI JAKO WERSJE KONTYNUALNE DLA SZEREGÓW

Własność 1.:

óef. ^A

F(A) = J f(x)dx

a

Całka f f(x)dx-zbieżna <=> limF(A) = F(oo) | f(x)dx = F(oo)-F(a)

a

Rozszerzenie wzoru Newtona-Laibniza na całki niewłaściwe

1