3582308281

1. CAŁKI NIEWŁAŚCIWE

1.1 CAŁKI NIEWŁAŚCIWE PIERWSZEGO RODZAJU

Def. 1.1.1 (całka niewłaściwa na półprostej)

Niech funkcja f ■ [a, ⁰⁰) —> R będzie całkowalna na przedziałach [a,!*] dla każdego T>a. Całkę

niewłaściwą pierwszego rodzaju funkcji f na przedziale [a,oo) definiujemy wzorem:

7    ^{def T}r

J f (x)dx = limj f (x)dx.

a    a

Jeżeli granica po prawej stronie znaku równości jest skończona, to mówimy że całka niewłaściwa J f (x)dx jest zbieżna. Jeżeli granica ta jest równa oo lub -<», to mówimy że całka jest rozbieżna

odpowiednio do oo lub -oo. W pozostałych przypadkach mówimy że całka jest rozbieżna. Analogicznie definiuje się całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju na przedziale (-°°,b]:

*    # ^br

[ f (x)dx = lim [ f(x)dx.

J    S—>—oo J

—ca    S

Def. 1.1.2 (całka niewłaściwa na prostej)

Niech funkcja f ■ R —> R będzie całkowalna na przedziałach [S,T] dla dowolnych S i T takich, że -oo < S < T < oo. Całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju funkcji f na przedziale (-<»,<») definiujemy wzorem;

J f{x)dx= J f(x)dx + ^ f{x)dx,

—oo    —oo    a

gdzie a oznacza dowolną liczbę rzeczywistą. Jeżeli obie całki po prawej stronie znaku równości są

oo

zbieżne, to mówimy, że całka J f(x)dx jest zbieżna. Jeżeli jedna z tych całek jest rozbieżna do -oo

—oo

lub oo, a druga jest zbieżna albo rozbieżna odpowiednio do -oo lub oo, to mówimy że całka jest rozbieżna do -oo lub oo. W pozostałych przypadkach mówimy że całka ta jest rozbieżna.

a    °°

Uwaga. Jeżeli całki J f(x)dx, J f(x)dx są zbieżne dla pewnego aeR, to są zbieżne dla każdego

—00    a

aeR i ich suma nie zależy od a.

,,    f dx

Fakt 1.1.3 (zbieżność całek postaci J ——)

a ^X

7 dx    \zbieżna dla p> 1

Niech a>0. Wtedy —r jest <

“    [rozbieżna dla p< 1

r dx

Uwaga. Analogiczny fakt jest prawdziwy także dla całek —, gdzie 6<0, o ile funkcja

j _xp

—00

podcałkowa jest poprawnie określona.

1.2 KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI CAŁEK NIEWŁAŚCIWYCH PIERWSZEGO RODZAJU

Tw. 1.2.1 (kryterium porównawcze) Jeżeli