195(1)

506. Obliczyć całki powierzchniowe pierwszego typu (po płacie powierzchni):

1) 1= ff (5x+4y+3z)£fc, gdzie a — część płaszczyzny x+2y-f3z = 6,

a

położona w pierwszej ósemce przestrzeni.

2) K= ff (y-fz+ya²—x²)ds, gdzie W—boczna powierzchnia walca

w

x²+y² = er, zawarta między płaszczyznami z = 0 i z = h.

Rozwiązanie: 1) Powierzchnią całkowania a jest trójkąt ABC (rys. 196). Korzystając z równania danej płaszczyzny oraz z równań (1), przekształcamy całkę powierzchniową na całkę podwójną względem a i y

Mamy

z = y (6—x—2y), ds = } 1+ (z'J²+(zj,)² dxdy =    ^

j/14

dxdy

(5x+2y+6)dxdy

gdzie tr_Xj, — trójkąt A BO, będący rzutem a na płaszczyznę xOy.

Otrzymaną całkę podwójną przekształcamy na iterowaną i obliczamy ,_ yjs~³

1 = —3— j dy I (5x+2y-i-6)dx =

y_o-0    x_p~0

—    ^ f — X²+2A-y-f6x1    dy = 2\ 14 f (jr— 10yd 2l)dv =

= 2y^rM

'_r-5y²+21y

J = 54 j/14

2) W tym przypadku nie możemy dla całej powierzchni W wyrazić jednej ze współrzędnych jako jednoznaczną funkcję pozostałych. Części po-

wierzchni walcowej, Jeżące po różnych stronach pionowej płaszczyzny układu xOz (rys. 197) mają różne równania: część W-j,znajdująca się na lewo od płaszczyzny xOz, ma równanie y = — \/a¹~x², a część W₂ znajdująca się od tej płaszczyzny na prawo, ma równanie y = } a²—x². Z tego powodu daną całkę powierzchniową należy obliczyć jako sumę dwóch całek A_t i A₂-< rozciągniętych na części W_x i W₂ powierzchni W.

Przekształcając całki powierzchniowe A, i K₂ na całki podwójne o zmiennych całkowania x i z, otrzymamy

ds = ] 1 +OŚ)²-|-OŹ)² dxdz = ~^a-^d^£l=r

y a²—x^z

fl ff ^zdxdl	K n [ I /o i ^2 \
^a J J i/a^2—x^2 ’ (^0XI *	^! Ms r7=?)

dxdz

A' - AH A, = 2« | | (l + ■    *~)dxdz

AbĆD ' I ^{U X} I

Zatem

ponieważ rzutem powierzchni W_x i IV₂ na płaszczyznę xOz jest prostokąt ABCD.

Obliczając tę całkę podwójną, znajdujemy

h    a

A = 2a I dz I (l-f -_;J_-Ądx =

J _J \    )

= 2a II x4-rarcśin—    dz —

J L    a

h

— 2a I (2a^Jrztz)dz — 2a 2az f- - y

393