52551 Strona
1

(4)

(5) .

Ji = $j'x didx,

s

Ji = $ \zdxdy.

W celu obliczenia całki (3) stwierdzamy, żc nasza powierzchnia S, jako powierzchnia określona równaniem typu (2.1"), jest płatem regularnym zorientowanym dodatnio. Rzutem powierzchni 5 na płaszczyznę Oyz jest trójkąt BOC, określony nierównościami:

(6)

'    - D = I

*    ‘    |    9«z<l+>.

Zatem stosując do- całki (3) wzór (2.6') i uwzględniając przy tym (6), otrzymujemy:

1

-    >    0 l+Z

J_l=*\\ydy<h = \\ydydz = \y [j dz] dy = s    o, » -i-o    •

Aby obliczyć całkę (4), stwierdzamy, że nasza powierzchnia S, jako powierzchnia określona równaniem typu (2.1"), jest zorientowana ujemnie. Rzut D₂ tej powierzchni na płaszczyznę Ozx jest trójkątem AOC, określonym nierównościami:

O)

¹ = 1 0<z<l —x.

Zatem stosując do całki (4) wzór (2.6”) i uwzględniając przy tym (7), otrzymujemy:

•; * \ *

\ ¹ * 1

(4*)    = $1 X dz dx = — J $ X dz dx * — $ * [ $ dz] dx = — ~.

'    ¹    .    S    Di    0    0    o

N    _m    #

Aby obliczyć całkę (5), wyznaczamy najpierw z równania (1) z jako funkcję zmiennych ^! x i y. Mamy:

(8)

z = 1 —x + y.

2jauważamy następnie, że powierzchnia S, jako powierzchnia określona równaniem typu (2.1), jest płatem regularnym zorientowanym dodatnio. Rzutem D₂ powierzchni 5 na płaszczyznę Ozy jest trójkąt AOB, określony następującymi nierównościami:

(9)

l⁰^¹

\ 1 —x<j

0.

Zatem stosując do całki (5) wzór (2.6) i uwzględniając przy tym (8) i (9), mamy:

i o

(50^!

y, = J $ r dxdy — ($ (1 — x + y) <fxdy =■ $ [ $ (1 — x + y)]dy>d}

S    D₉    i 0 jt—1

Wstawiając (3'), (4) i (5') do (2), otrzymujemy ostatecznie:

L . i    /

:¹⁰⁵ i

1.    Obliczyć całkę powierzchniową zorientowaną (\ (v² -f >'² + :') dx dy, gdzie S jest

s

górną stroną części powierzchni c = 2x + 2y leżącej nad kwadratem D = { 0    < I,

Oęv«:|}.

2.    Obliczyć całkę JJ .xV: tłv rfr po zewnętrznej stronie dolnej połowy powierzchni

, .v^J + y* + -² = R¹.

3.    Obliczyć i) (r + X¹ + y⁵) dxdy, cdzie.5 jest dolną stroną kola: x² Ą-y² ^R², : = 0.

'i'

4.    Obliczyć (n^: — x)dydz, gdzie S jest zewnętrzną stroną powierzchni o równaniu

x = a¹ —y- —    0 (rys. 17.9). '    *

5.    Obliczyć J 5^z 4>’» S^zie S jest zewnętrzną stroną powierzchni o równaniu

s'    >    ’    .

4.v² + y¹ + 4r^: = 4 położonej w pierwszej ósemce układu współrzędnych. -    .

6.    Obliczyć j J X^z ^ydz + x:dz dx 4- xydxdy, gdzie S jest górną stroną powierzchni trój- ^

s

kąta wyciętego z płaszczyzny x + y + z = a przez płaszczyzny układu współrzędnych.

7.    Obliczyć 55 x²dy dz + y²d: dx + z²dxdy, gdzie 5 jest dolną stroną części powierzchni

s

kulistej .y^: + y² I    leżącej w pierwszej ósemce układu współrzędnych.

,    •    t    •

Odpowiedzi

17.3. TWIERDZENIE GAUSSA-OSTROGR.ADSKIECO -Twierdzenie. Jeżeli funkcje:

r ■-= P(x, y, r),    O = (7(.r, y, r), R - R(.x, y, z)

są ciągłe wraz z pochodnymi cząstkowymi —wewnątrz i na brzegu obszaru

b.x    by ' bz

przestrzennego V, który jest normalny ze względu na trzy płaszczyzny układu współrzędnych i jeżeli brzeg S obszaru V jest powierzchnią regularną zamkniętą zorientowaną skierowaniem wektora normalnego do powierzchni 5 na¹ zewnątrz obszaru V (rys. 17.10). to:

107