196(1)

907. Obliczyć całki powierzchniowe drugiego typu (po rzucie piata):

1)    /= Jf j x²-f-y²dxdy, gdzie er —dolna strona kola x²-\-y² < a²

a

(zwrócona w ujemnym kierunku osi z).

2)    J = /j 2dxdy+ydxdz—x²zdydz, gdzie D jest zewnętrzną stroną

części elipsoidy 4x²+y²+4z² = 4, znajdującej się w pierwszej ósemce przestrzeni.

3)    $ ydxdz, gdzie W jest powierzchnią czworościanu, ograniczonego -w

płaszczyznami x+y-j-ż = 1, x = 0, y = 0, z = 0.

Rozwiązanie: 1) Powierzchnia a pokrywa się tu ze swym rzutem na płaszczyznę xOy. Na podstawie wzoru (2), po uwzględnieniu, że całkowanie rozciąga się na dolną stronę koła, otrzymujemy

l—~ ll y*²+y^! dxdy = — J I j/o gdipdg =

2.i    a 3    0    j

= - f dep ( Q² do = J y {V]₀# ='--^-rr]/a^r

0    0    2i

(Dokonano tu przejścia od współrzędnych prostokątnych do biegunowych).

2) Daną całkę po rzutach płata o postaci ogólnej przedstawiamy jako sumę trzech całek składowych

J = 2 J J dxdy-j- I f ydxdz— f J x²zdydz

D'    'D‘    ~D

i korzystając z równania powierzchni D oraz ze wzoru (2), przekształcamy każdą z nich na całkę podwójną. Mamy

A = f I dxdy — I I dxdy, gdzie D_xy— rzut płata D na płaszczyznę

^V    Uxy

xOy, będący częścią O AB elipsy 4x²]-y² < 4 (rys. 198), d2 — I fydxdz = 2 I I j 1-2c²-2² dxdz, gdzie D_x: — część O AC koła

x²A-z² < l,

/₃ = ffx²zdydz=jfz(

D    D.„    '

y² \

¹ ~ '4 ^-z2) ^d>'^dz> §^dzie — część ORC

elipsy j^-j-42² < 4.

Pierwsza całka jest równa liczbowo polu obszaru D_xy — ćwiartki elipsy o półosiach a = 1, b — 2, czyli J_t — ^nab- — y (por. zad. 611 (4), str. 246). Drugą całkę obliczymy przechodząc do współrzędnych biegunowych

jr/^rj>^

71

"2 I    1

■h — 2 ( | ]/l-Q² Qdfdo = -j dtp | (1 — e²)~    — £*²) ==

Trzecia całka jest równa

I    >Q

o    y_p

o ^L

- ii^r(i-^z!)=*= H

y--2 | l

2 _r 2(l — -²) ,o_ 4 5 Ji“ 15

Wobec tego J — 2J_lĄ-d_z—J_i — , ti-

3) Powierzchnia zamknięta fK składa się z czterech części: z trójkątów -4BC, BCO, ACO, ABO (por. rys. 180), z których każdy leży na innej płaszczyźnie. Odpowiednio do tego daną całkę obliczymy jako sumę czterech całek.

395