Strona8

/

e) JJ (x-f y + z) dS, gdzie: Sjest powierzc hnią o równaniu x² + y^ł + z¹ = R¹, z>0.

4. Obliczyć całki powierzchniowe niezorientowane:    _y    '

*) JJ ^z B^zie: $ określona jest równaniami: x = u cos a, y = u sin a, z — v,

. dla    0<o<2jt;

• b) ${ z²dS, gdzie: S określona jest równaniami: x = r cos p sina, y = r sin <? sina,

.

z = r cosa dla Ośrśa,    a stała, 0<a<y.

' 5. Znaleźć pole powierzchni S określonej równaniami:

a) ■* = rcosp, y = r sinp, z = lup, gdzie: 0<r$a, 0<p<2ir, A>0 stałe;

0<p<2>t

0<yr<2łt

Qśaś.b, a, b stale. .

: b) S a

x =■ (b + o cospO cosp y “ (ł> + ^a ćosip) sinp, gdzie: z = a sin ip

P6. Znaleźć masę powierzchni walca X¹ + y²** R¹ zawartej między płaszczyznami * z = 0, z = H, której gęstość powierzchniowa w każdym punkcie jest odwrotnie j proporcjonalna do kwadratu odległości tego punktu od początku układu współrzędnych.    •    .    .

i 7. Znaleźć położenie środka ciężkości C jednorodnej powierzchni o równaniu y¹ + z¹ = ■.* ■=■ 10x dla 0<x<10.

8. Znaleźć współrzędne środka ciężkości jednorodnej powierzchni o równaniu z = — X¹ + y¹, wyciętej powierzchnią walca x² + y² — ax. i 9. Znaleźć współrzędne środka ciężkości powierzchni bocznej stożka z¹ — X¹ + y¹, (Kz-Sl, jeżeli gęstość powierzchniowa w każdym punkcie jest proporcjonalna do ' odległości tego punktu od osi stożka.

10. Obliczyć moment bezwładności względem osi Oz jednorodnej powierzchni o równa* , niu X¹ + y¹ + z² = a¹, z & 0, o gęstości stałej p.    *

A/

1'r¹ + y¹, gdzie:

11. Dla jednorodnej (gęstość p — stała) powierzchni stożkowej z i

x² + y² śR² znaleźć: a) potencjał U tej powierzchni w środku podstawy; b) składowe wzdłuż osi Ox, Oy, Oz siły przyciągania w środku podstawy tego stożka.

,12. Obliczyć potencjał warstwy pojedynczej powierzchni kulistej o promieniu R i stałej ■ gęstości p w punkcie A odległym o d ^ R-od środka powierzchni.

^! ' Odpowiedzi

1. a) 4 /óT; b) /3 |ln 2—ij ,

2.

‘    4 + 24/3

15

3.    a)    _n; ' b) 0; c) /2 o⁴ Ii ^d) ² * ^arc <E jl

4.    a) n⁵[o /l + a² -f In (a +' / I + a²)]; b) -j- sin a cos²a.

64

‘ A

e) irR\

5.    a) na /a² -4- Ir -f h' In ^a ^^a ^ ^ ; b) 4n²ab.

h

H

6.    2jrfc arc tg , gdzie: k oznacza współczynnik proporcjonalności.

_    ‘ 25/5 4-1    „

7.    Xf — - T---— J Vf —’ ~C •— 0.

5/5 — 1    ₄

_    a    „    16 a

8. v_c-_ył y_t - 0,    =

9.    Jf, = 0, v_f = 0, z, = A .

10.    -j-7t/>a⁴.

11.    a) U(0,0h) = -¹? ^Rp— (R-/,) ;f , ²*„*^l,\* ln ^R +    *■

|' rt² + /i²

R² + /i² A /y?¹ + A* — h’

bl V = n v = n 7- ²”^,lRP ,_n A /-R² + h² + R 2 np(R_+h) R² + lr h "//?2 ₊ hi—h ' /it² + h'-

4 n p R,    0 < d< R

12. L’(P) =

4npR²

--. d>R.

17.2. C\I.KA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA

Definicja. Płat powierzchniowy regularny S (por. T. I, rozdz. 12.8) określony równa-\ niem:

(2.1)    - = /(-Y. 1)    dla (x,y)zD,

gdzie: D jest obszarem płaskim regularnym, nazywamy piatem zorientowanym, jeżeli jedną-stronę piata nazwiemy stront} dodatnią, a drugą stronę piata — ujemną. Dodatnią stroną płata powierzchniowego o równaniu (2.1) nazywamy tę stronę, która zwrócona jest ku górze. Za wektor normalny tej strony przyjmujemy wektor, który tworzy kąt ostry z dodatnim kierunkiem osi Oz. Wcktorcfi^rakim jest np. wektor o składowych

(--§•    ^,75>

101