101(1)

Po obliczeniu całki ze zmienną t szukane wyrażenie dla całki wyjściowej otrzymamy wracając w uzyskanym wyniku do zmiennej x za pomocą wzoru

* ⁼    dx

Na przykład, aby obliczyć całkę J = f ----— podstawiamy x = t².

J 1+ y x

Wtedy dx = 2tdi, oraz    i- ,

_r r 2tdt . r r+1-1 .    . cl. i \ .    * \

^J=\ hT = ²J -r+r ^dt^²jy~T+T)^dt= i < ^;

= 2 fdt-2 J    = 2f-21n(H-l)+C = 2.l/*-21n(|/x+l.)+C

Można też postąpić inaczej. Niech t = 1+j/jc. Stąd x= (t—l)², dx — — 2(f— l)z/ż, czyli

= 2r- 21ni+C = 2(l+y'x)-21n(l+j/x)+C

Otrzymane wyniki różnią się o stały składnik 2; oba są poprawne, o czym można się przekonać przez zróżniczkowanie.

Jak widzieliśmy na powyższym przykładzie, przy zamianie zmiennej można posługiwać się wzorem x = <p(t), wyrażającym x w funkcji t, albo wzorem t = y(x), wyrażającym zależność t od x.

Wybór wzoru (podstawienia) określającego zamianę zmiennych gra tu pierwszorzędną rolę, przy czym nie można podać jakiejś ogólnej reguły, jak dobrać najlepsze podstawienie w każdym przypadku. Pewne jednak szczególne zasady dla ważniejszych typów całek będą omówione poniżej.

^3,J'i

xdx

V^x2+°

465. Obliczyć całki: 2 xdx ^3

dx

^ r    sin jecie

J j/l+2cos;c

Jye’+l

Rozwiązanie: 1) Podstawiamy x² = t, skąd po zróżniczkowaniu mamy 2xdx — dt. Obliczamy całkę z nową zmienną, a następnie wracamy do zmiennęj-<TOtrzymamy

/

2 xdx x⁴'-f3

f

dt

r²-|-3

—L arc tg —— + C \3    ]/3

1

yl

s

2)    Podstawiamy l+2cosx = t. Wtedy —2sinxdx = dt oraz

f ^sinxdx_=_JL    _JL .o,t+

J j/r+2cos* ² J ^    . ² J    ²    '

= c— yT = c— ]/i+2cosx

3)    Podstawiamy rM-cr = z; mamy wtedy 2xdx = dz oraz

r xć£x:    1 r dz lr--L ł 3 1 _t _

JTStfZ-2)W~*i **-t-t²*+^c-

=    (^+a)²+C

dx.

4)    Podstawiamy l+ln* = ®; wtedy _ = dv oraz

j~- ¹ '_x^InX d* = J v⁷® fifo = y©² +C = y}/(l+lnx)³ +C

5) Podstawiamy e^y-fl = r², wtedy e^ydy = 2tdt, skąd dy =

2*<fc

oraz

t²-l

f    C    ₌₂f * _2.1ln

J j/e^+r J    J t²-1    2

f-1

H-l

C =

yWi+i

Obliczyć całki i sprawdzić wyniki przez zróżniczkowanie: x?dx

= i,jSd+c

466

467,

f x*dx

■ J 5^3?^: • /■ ^

podstawiamy f = y?

podstawiamy z = 3+4e^x

3-f-4e* ’

468. /tg³ cpd<p;    podstawiamy q> = arc tg t

469. J x³y'a—x²dx;    podstawiamy]/a—X² = z

/JC^ — JC

d^x; podstawiamy x—2 = f 471. J ,v j/a—* </x; podstawiamy a—* = r²

205