182(1)

Przy obliczaniu całki podwójnej po obszarze OABCD trzeba było podzielić go prostą BE, równoległą do osi Ox, na dwie części.

2) Dana bryła, zawarta między sferą x²+y²+z² — 2z (o środku w punkcie (0,0,1)) a stożkiem x*Ą-y² = z², została przedstawiona na rys. 186. Jej objętość wynosi

gdzie: G— obszar zajmowany przez bryłę, G_xy —jego rzut na płaszczyznę xOy, z_k— dodatnia wartość z oliczona z równania stożka: z_k — \x^2jry^Ly

z

z

x*+y*+z²=2z

Rys. 185

Rys. 186

²c—-większa z wartości z obliczona z równania sfery: z_c = 1 +

-f J' 1 -x²-y². Linią ograniczającą płaski obszar G_xy jest okrąg a'²-|->>² = 1,

którego równanie otrzymujemy eliminując z równań sfery i stożka zmienną z. Przechodząc do współrzędnych biegunowych, znajdujemy

o o

3) Paraboloida obrotowa 2z = -v^{1 2}+.r i płaszczyzna y+z = 4 (równoległa do osi Ox) ograniczają bryłę, przedstawioną na rys. 187. Jej objętość obliczamy ze wzoru (1)

*2

a    a_xy    **.    c_xy

Jj j dxdydz — fj dxdy J dz = J J (z₁—z_l)dxdy

gdzie: G — obszar zajmowany przez bryłę, G_xy — koło x²-\-Jy-r l)² ^ 9 ^u; =    z₂ = 4-y.

(0r4,8)

Aby uprościć obliczanie całki podwójnej, przesuwamy początek układu współrzędnych do środka koła G_xy, czyli do punktu (0,    1), a potem

przechodzimy do współrzędnych biegunowych, przy czym współrzędne x i y wyrażamy następująco: x — qcos<p, y = — l+gsinę?, a iloczyn dxdy zastępujemy iloczynem gd<pdQ. Wtedy całka podw^rójna przyjmuje prostą postać

¹    2n 3

K = 4-// (9-o²)gd(pdn = -- j d<p j (9Q—Q³)dQ =

^{2 0 0}

367

1

Równanie okręgu x²+0+l)² = 9 otrzymuje się przez eliminację z z układu danych

2

równań.

3

66