Analiza2id'534

5.    Obliczyć całki podwójne:

a.    JJ x³y²dxdy, gdzie P = (0,2) x (0,3);

p

b.    JJ dxdy, gdzie D = {(x,y) : x² <    < 4x², 1 < x < 2}-;

D

C. JJ J4 -x² - y² cbcdy, gdzie Z) = {(x,y) : x² + y² < 4};

D

d.    JJ MdfoZy;

*²+j²<2x

e.    JJ e~^x2~^y2dxdy, gdzie D jest półkolem x² +y² < a² (x > 0);

D

f.    JJ xy²dxdy, gdzia D jest obszarem ograniczonym krzywymi

D

o równaniach x² + (y- l)² = 1 i x² +y² = 4y (wykorzystać współrzędne biegunowe);

g- JJ    §^dzie D =    : *² +y² - ^l’ y - °}-

D

6.    Korzystając z całki podwójnej, obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach:

a. x² - y² + z² = 0, x² + z² = 2 ->>;

b. x² +z² = a², x + z - a (a - stała dodatnia), z = 0, y = 0; przy czym z > 0 i y > 0;

C. z = ln(l + x² +y²), x² +y² + 1 = e², z - 0;

d.    x² +y² +z² = a², x² +y² - ax = 0 (objętość części kuli wyciętej przez walec);

e.    x + y + z - b, ~    = 1 (0 < a < ó), x = 0, y = 0, z = 0.

7.    Wyznaczyć wartość średnią funkcji f{x,y) w obszarze Z), jeśli:

a.    J[x,y) = sin(x² +y²), a Z): 7r² < x² + y² < 47t², y > (xj;

b.    j[x,y) — xy, a Z) jest obszarem ograniczonym krzywymi o równaniach

y = (x - l)², y = x² i y - x + którego brzeg przechodzi przez początek układu współrzędnych;

C. J{x,y) = xy, a Z) jest półkolem: x² + y² < ox (<3 > 0, y > 0);

d.    fix,y) = +    xy², a D = {(x,y)e i?² : £ £ < 1, x > 0, y > 0},

e.    f{x,y) = Ja² - x² - y² , a D jest wycinkiem koła x² +y² < a² leżącym w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych.

8.    Obliczyć pole płata S:

a.    wyciętego z parabol o idy 2z = x² +y² przez walec x² +y² = 1,

b.    będącego trójkątem otrzymanym z przecięcia płaszczyzny 6x + 3y + 2z= 12 płaszczyznami osiowymi,

C. wyciętego na sferze x² +y² + z² = 100 płaszczyznami x = -8 i x = 6 d. wyciętego walcem x² +y² = ax na sferze x² +y² + z² - a².