caleczki

- 324 -

Zadania do rozwiązania 1. Obliczyć całki potrójne:

dxdydz, gdzie:    V jest

zęśeią kuli określonej

D) JfJ Vx² + y² + z² dxdydz, gd^i-er^Y^jest ósmą częścią

v    2    2    2    2

kuli określonej nierównościami:    x + y + z < R ,

O, Z > 0;

dxdydz

Vr² - (x² + y² + z²

, gdziej

x > O,

jest ósmą częścią

0, z > 0;

Jjj'(x² + y²)dxdydz, gdziej^-Y^jest pierścieniem kulistym zawartym mi£jłisy'”~jpowierzchniami kulistymi :

' X> O,

. o)

<J)

X +    = ^Ri ¹

e)

/// (x² + y² + z²)dxdydz_ł^gffzie:    V. jest obszarem ograniczonym powiejuseimią kulistą:    x² + y² + z² = i „

. 2. ObliczyjS-^rafłTći potrójne:

^a) III ^z(Jxdydz, gdżie:    v jest obszarem ograniczonym po-

v    2

wierzchnią stożkową:    _z² = £_ (_x² _{+ y}²) _{t pła}szozyz-

JT    ;    '    >-    (*a

ną z = h;

ograniczonym

»>/// dxdydz, gdzie:    v jest obszarem

płaszczyzną:    z - O, walcem y? + y² = 2 Rx i powierz-

cJrnią kulistą x² + y² ₊ £ _{=    z} > ₀;

*>/// dxdydz, gdzie:    V. j_est obszarem ograniczonym para-

v    2    2

boloidą:    z = x + y i płaszczyzną z =* 1.

i.

Odpowiedzi

a)	II^3 ;	b)	S~ n^4 . 8 ^1 >	2 2 v uli °) ' 8 "
	całkowaniu	względem r,		zastosować
	r =* Rsino;	d)	M ra^5 15 ‘2	- ^ai> i ^e
a)	jr h^2 u^24 ’	b)	i 6 n ^3 nr 3 \ 2	2 - 3) | 0)

wskazówka:    przy

\ Z

2. a)

§ 4, Pewne zastosowania całki potrójnej

Jeżeli obszar przestrzenny, regularny V wypełniony jest ciałem materialnym o gęstości ciągłej ,u(x,y,z), to:

1° Masa m tego ciała wyraża się wzorem:

(4.1)

^t(x,y, z) dxdydz ;

2° Momenty bezwładności J_x, Jy, J_z tego ciała względem osi Ox, Oy, Oz znajdujemy odpowiednio z wzorów:

	Jx = fff /t(x,y,z) (y^2 + z^2)dxdydz ; V	(4.2')
	Jy = fff A‘(x,y,z) (x^2 + z^2)dxdydz ; V	(4.2")
	^Jz ~ fff ^ (^x2 + y^2)dxdydz .	(4.2'")
Momenty płasssozj wiedni0	bezwładności J » J , J tego ciała względem ^ y a /> y Zi mi współrzędnych Oxy, Oxz, Oyz znajdujemy odpo- ■ \ sfi wzorów:
	^Jxv -fff ***,•) z^2dxdydz ; V	(4.3' )
	^Jxz -fffMx,y,z) y^2dxdydz ;	(4.3")
	^Jyz “.//jf/“(^y-^2) x^2dxdydz . V	(4.3"')

_t,i)A

';;

Ili