304 J. ZARYS RACHUNKU TENSOROWEGO
Zadania do rozwiązania
1. Wyznaczyć składowe pochodnej kowariantnej wektora kowariantnego Tk =
we współrzędnych cylindrycznych x1 = r, x2 = ę, x3 = z.
2. Wyznaczyć składowe pochodnej absolutnej tensora kontrawariantnego rzędu drugiego Tkl we współrzędnych cylindrycznych X1 — r, x2 — <p, x3 = z.
3. Wyznaczyć dywergencję wektora kontrawariantnego Vk oraz laplasjan skalara U we współrzędnych sferycznych X1 = q, x2 = 0, x3 = ę.
Odpowiedzi
1. Ttn =
Tl/l —
^3/1 —
3.
divV = y;k
5T
u
Su
ST12 "bu
ST13
Su
ST21
Su
ST22
Su
ST23
Su
ST31
Su
ST32
82V
VL/2 — ^ p ..... ord(p r |
8ip |
M/3 — |
drdz ' |
1 dV T_ . — |
82V |
8V | |
, i I2 2 r 8tp |
8<p2 |
+ T dr’ |
i2/3 — |
82V
8(p8z’
dT12 ,, dip . .
— rT22--Ą T1 ——i 1 —
du r du r du
du
dT13
du
dT2
■rT'1—, du ’
dr
!* /I n 22\ d<P 1 21 dr
- + [ — Tll-rT22 —+—T21 —, \ /• J du r du
2
dT22 1., ,, d(p 2 ,, dr
du r du r du
dT23 1 ,xd(p 1 i-i dr
: —--1--T13-j--i--T23 —
du r du r du
dT ,2
*-p3 2
'31 d<p
du
--rT3
Su
ST33
Su
du
<P
du ’ d cp
du r
dT*\ 1 Tsi dtp | 1 r32 du r du r du '
dr
■33
dT
du
Definicja 1. Transfori nych z, w układ współrzęi
przy czym współczynniki . (6.2) gdzie
(6.3)
Własność 1. Jeżeli wsp związki
(6.4)
Własność 2. Wspólczyi czynią zadość następującej
(6.5)
co wynika z własności (6.2
Definicja 2. Tensorami według tych samych praw c współrzędnych (6.1).
Własność 3. Każdy tens jest tensorem.
Własność 4. Prawo tra, podniesienia lub obniżenia i
Własność 5. W przypt składowymi kowariantnymi Uwaga. W przypadku zawsze na dole. W tym roi kartezjańskich ortogonalny chodziły według relacji (6.1
20 — wybrane działy matematyl