29083 str312

312 5. ZARYS RACHUNKU TENSOROWEGO

Zadania do rozwiązania

1.    Przedstawić za pomocą tensorów kartezjańskich następujące relacje:

a)    rot(ę)F) = <p rot F — Fx grad (p,

b)    rot (AxB) = E div A — Adiv B +(Ap) B — (Bp) A,

c)    di v(AB) = Xdiv5+.Bdiv._l? + ,4 x rotfi + P x roM,

d)    rot (grad <p) — 0.

a następnie wykazać słuszność powyższych nierówności posługując się językiem tensorów kartezjańskich.

2.    Uprościć następujące wyrażenie:

^Enmk^Enrs "ł" ^Enms^Enkr »

gdzie fi_klm jest symbolem permutacyj nym.

3.    Dane jest równanie równowagi cienkiej płyty (znane z teorii sprężystości) w języku tensorów kartezjańskich dla przestrzeni dwuwymiarowej

ti 1 —^ tt _n 1 — o²

_nk T ^Ekln^Enrs^ s,rl    ZC~, ,

2    Eh

gdzie U_k jest wektorem przemieszczenia, P_k — wektorem objętościowej siły zewnętrznej odniesionej do jednostki pola płyty, a — współczynnikiem Poissona, E — modułem Younga, h — grubością płyty, e_klm — symbolem permutacyjnym.

Równanie powyższe opisuje szczególny przypadek deformacji płyt cienkich, zwanych deformacjami podłużnymi, zachodzącymi w płaszczyźnie płyty, którym nie towarzyszy zginanie.

Rozpisać dane równanie w tradycyjnym języku analizy matematycznej przyjmując *1 = x i x₂ = y.

Odpowiedzi

1- a) £„„(</> F,)_>r = ^<P^EnrsK,r~^EnrsK⁽P,si

b)    ^Enrs(^Eskl^k^l),r — B_nA_rr— A_nB_{r r} + A_rB_nr — B_rA_nr,

^c)    (^n^n),k — A_kB„„ + B_kA_nn 4- c_km„e_nrs(A„,B_Str + B_nA_sf),

d) ^Ekmn<Pn,m = 0. r i o^2ux 1 FJ, *_L		d^2ux i e^2u;1
[l fi.	— o^1 dx^2 ' 2(1 +<r) 1 d^2U. 1 , ^y 1	dy^2 2(1 —o) 3x3yj d^2Uy 1 d^2Uxl
^Etlll	-o^2 dy^2 2(l + a)	dx^2 2(1 —o) dxdy\

+ P_X = 0, + P,= 0.