str272

1 f

272

5. ZARYS RACHUNKU TENSOROWEGO

Po zastosowaniu umowy sumacyjnej powyższy wzór przybiera postać

d²u 8x^r 8x* 8u d²x^r

AL =

^u 8x^r8x^s’ dy^k' dy‘ ⁺ 8x^r‘8y^k8y"

Wprowadzając te oznaczeń:

zatem

(2)

_ai    dx^r 6x^s _i 8u d²x^r

Am —    .k_a..r

8y^k 8y 8x^r 8y^k8y‘

8u d²x?

Istnienie składnika —-—r—we wzorze (2) wskazuje na nietensorowy charakter zbioru

8x 8y 8y

wielkości A_kl, a zatem A_kl nie jest tensorem.

Zadanie 1.7. Dany jest potencjał pola elektrostatycznego we współrzędnych kartezjań-skich X¹ = x, x² = y, x³ = z, v = *(x¹,x², x³). Wyznaczyć wektor kowariantny natężenia tego pola we współrzędnych kartezjańskich x^r, a następnie podać jego składowe we współrzędnych sferycznych /, gdzie y¹ = q, y² = 0, y³ = (p.

Rozwiązanie. Jak wiemy z fizyki, wektor natężenia pola E = —grad V, co możemy przedstawić w przyjętym zapisie tensorowym

(1)

E_k= —

8q>

8x^k’

E_k jest tensorem kowariantnym rzędu pierwszego w układzie współrzędnych x\ Obecnie wyznaczymy składowe tegoż tensora we współrzędnych sferycznych y* dokonując transformacji (1.10).

Współrzędne x^k są związane z y^k następującymi zależnościami:

(2)    X¹ = y^l siny²cosy³, x² = y* siny² siny³,    x³ = y‘cosy².

Mamy zatem

(3)

El = E,

8x^s

8y^k

co po uwzględnieniu relacji (2) możemy rozpisać w następujący sposób:

, 8v .    ,    , 8v .    , .    , 8v ,

Ei = — T7 sin y cos y — —j sin y smy - cos y , 8x    8x    8x

K

Zadania do rozwiązania

1. W przestrzeni trójwy

dxT

zbiór wielkości A^mn = ——

dt

2.    Wyznaczyć wyrażenia

3.    Dany jest tensor kontr

rzędnych kartezjańskich x* rzędnych sferycznych x'⁵ =

4. Dany jest tensor kont

kartezjańskich x* = {x, y}. I nowych x'^s = [r,q>).

5. Dany jest tensor kow.

zjańskich x* = {x,y, z}. W; nych x^,k = te- 0,<p}.

6.    Dany jest tensor mia x* = {r,cp,z}. Wyznaczyć : *^k = {e, o,<p}.

7.    Obliczyć wyrażenie A_{

Odpowiedzi

(4)

8v

nt    —    12    3    ^ i    2*3    ^ I ■    2

E-, =--_ry cosy cosy--₅y cosy siny ł--^y smy*,

8x    ox    8x

8v

E\ = t—i y¹ siny² siny³--^y¹ sin y² cos y³,

8x¹'    8x²

jak wiemy X¹ = x, x² = y, x³ = z oraz y¹ = q, y² = 0, y³ = <p.

1. A'^mn = A¹

,8x'^m 8x"

8x^k 8x‘ ‘ 2. a) A_rm, b) 3.

dx

3. V=— sin0cos<z>+-dt

18 — Wybrane działy matematyki.