str290

290 5. ZARYS RACHUNKU TENSOROWEGO

Własność 5. Jeżeli równania linii geodezyjnej x\t) są uzależnione od parametru t = s, gdzie s jest długością luku linii geodezyjnej (tzn. ds² = £a_m„ dx"'dxⁿ), to równanie różniczkowe linii geodezyjnej ma postać

(4.5)

d 8v 8v ds 8x^k dx^k

dx^k

gdzie x^k == —. Równanie (4.5) po dokonaniu odpowiednich przekształceń przybiera na-ds

stępującą formę:

(4.6)

^amk

ds²

fdamk	1	ćO	sdx^m	dx^n
U"	2	8x^k }	’ ds	ds

Własność 6. Linia geodezyjna jest określona, jeżeli dany jest jeden jej punkt oraz wektor styczny do niej w tym punkcie.

Definicja 2. Symbolem Christojfela rodzaju pierwszego nazywamy wyrażenie [/;; n, r] określone wzorem

ćda_rm 8a_r,

(4.7)

1 fda_rm 8a_rn 8a_mn\

^[mn>r]=T Va?⁺ar"8?y-

Własność 7. Symbol Christoffela [mn, / ] jest symetryczny względem pary wskaźników m, n

(4.8)    [m n, r] = [n m, r].

(4.9)

Własność 8. Symbol Christojfela rodzaju pierwszego spełnia następujący związek:

8a_m„

[r m, n] + [r n, ni] =

8x^r

Własność 9. Jeżeli w równaniu różniczkowym linii geodezyjnej uwzględnimy symbol Christ offela rodzaju pierwszego, to przybierze ono następującą postać:

(4.10)

d²x^m    dx^m dxⁿ

Definicja 3. Symbolem Christojfela rodzaju drugiego nazywamy wyrażenie {,/„} określone wzorem

(4.11)

{ ¹ ]= a^rs [m n, s]. [m    ^l

Własność 10. Między symbolami Christojfela rodzaju pierwszego i drugiego zachodzi następujący związek wynikający bezpośrednio z relacji (4.9):

(4.12)

[m