286 5. ZARYS RACHUNKU TENSOROWEGO
Zadanie 3.4. Dane jest równanie ruchu xk — xk(t) we współrzędnych sferycznych
(1)
{? = 3/3 +1, 0 = 2t, ę = 3e~‘
gdzie g = xl, 0 = x2, <p = x3. Wyznaczyć wektor kontrawariantny prędkości Vk oraz kowariantny Vk we współrzędnych sferycznych.
Rozwiązanie. Składowe wektora kontrawariantnego prędkości Vk wynoszą:
Obecnie ze związku (3.10) mamy
K = aknV'\
Obliczamy składowe wektora kowariantnego prędkości, przy czym korzystamy ze wzorów (2) oraz z wyprowadzonych zależności w zadaniu (3.1) określających składowe metrycznego tensora kowariantnego we współrzędnych sferycznych. W rezultacie otrzymujemy
V\ = alnVn = Vk = 3t,
= a2„V" = q2V2 = 2(3t3 + l)2,
V3 = a3nV = q2 sin2 0V3 = - 3 (3t3 +1)2 e-' sin2 21.
Zadanie 3.5. Dane są składowe wektora kowariantnego Ek natężenia pola elektrostatycznego we współrzędnych sferycznych xr, gdzie xl = q, x2 = 0 i x3 = <p. Wyznaczyć składowe kontrawariantne Ek natężenia pola elektrostatycznego we współrzędnych sferycznych.
Rozwiązanie. Jeżeli przez <t> — <P(g,0,(p) oznaczymy potencjał rozważanego pola elektrostatycznego, to jak nam wiadomo, składowe wektora kowariantnego natężenia pola określane są wzorami
d<P
~86
Sq
tzn.
v<t>
d<p
Korzystając ze wzoru (3.8) oraz z wyznaczonych w zadaniu 3.1 składowych tensora metrycznego amn we współrzędnych sferycznych otrzymujemy składowe tensora sprzężonego amn
am" = 0 dla m # n
a
a
33
Q
1