33702 str294

294 5. ZARYS RACHUNKU TENSOROWEGO

Zadania do rozwiązania

1.    Wyznaczyć równanie różniczkowe linii geodezyjnych we współrzędnych sferycznych x^l — Q, X² = 0, X³ = <p.

2.    Wyznaczyć symbole Christoffela rodzaju pierwszego i drugiego we współrzędnych kartezjańskich ortogonalnych X¹ = x, x² = y, x³ = z.

, 3. Wyznaczyć symbole Christoffela rodzaju pierwszego i drugiego we współrzędnych biegunowych X¹ = r, x² = q>.

4. Wyznaczyć symbole Christoffela rodzaju pierwszego i drugiego we współrzędnych cylindrycznych X¹ = r, x² = q>, x³ = z.

Odpowiedzi

d²0    2 d_Q dO    1

ds²    q ds ds    2

--sin2ć?

= 0 dla każdego m, n, r =1,2,3.

3. [1 1, 1] = 0, [1 1,2] = 0, [1 2, 1] = 0,    [12,2]= r,

[2 1, 1] = 0, [2 1,2] = r, [2 2, 1] = -r, [2 2, 2] = 0,

4. [12,2] = [2 1,2] = r, [2 2, 1] = — r, pozostałe symbole [_m n, r] = 0,

§ 5. Pochodne tensorów

Definicja I. Pochodną absolutną tensora kontrawariantnego N-tego rzędu T*'^k*-^ktt nazywamy wyrażenie w następującej postaci:

N

fiT^k'^{k 1}-^ltN    ₍]^rp^k,kl"^kN

(5.1)

5u    du "^fZ_J [m sj    du